СМО с приоритетами (только для инженеров. )

 

Как уже говорилось ранее, с точки зрения дисциплины обслуживания (регламентирует порядок поступления требований на обслуживание из очереди) СМО бывают без приоритетов – все время в одинаковом порядке (первый пришел – первый обслужился или последний пришел – первый обслужился) и с приоритетами, когда порядок обслуживания определяется не местом в очереди, а рангом требования. При этом приоритеты бывают относительные, абсолютные и динамические: 

- относительный - требование, обладающее этим видом приоритета, поступает в первый освободившийся канал, минуя очередь (например, участники ВОВ, инвалиды идут без очереди)

- абсолютный -  требование не ждет в очереди и, если все каналы заняты, оно вытесняет требование, чей приоритет ниже, соответственно снимая его с обслуживания, (например: передача по TV экстренного сообщения, прямое выступление президента и т.п.)

- динамический - требованию присваивается приоритет в зависимости от ситуации (состояния системы); например, если до освобождения канала осталось немного времени, назначается относительный приоритет, если много, то абсолютный.

Назначение динамических приоритетов – это элемент управления функционированием СМО.

 

Рассмотрим незамкнутую СМО без ожидания (типа М/М/n/m=0). Напомним, что это означает пуассоновский поток на входе, экспоненциальное распределение времени обслуживания, n каналов, очередь отсутствует.

Рассматривание данной СМО в случае наличия требований с относительным приоритетом не имеет смысла, т.к. в ней нет очереди и любое требование (с приоритетом или без него) попадает сразу на обслуживание, если имеется свободный канал.

Рассмотрим случай, на входе системы есть требования только двух рангов – обычные (без приоритета) и приоритетные (с абсолютным приоритетом).

Тогда, в отличие от рассмотренных ранее СМО, в данном случае входящий поток будет  складываться из двух независимых:

1) поток приоритетных требований интенсивностью λ₁;

2) поток неприоритетных требований с интенсивностью λ₂.

Так как оба потока пуассоновские, то и суммарный поток также пуассоновский интенсивностью .

В силу того, что требования потоков различны по существу, то и обслуживание их происходит по-разному:

µ₁ - интенсивность обслуживания приоритетных требований;

µ₂ - интенсивность обслуживания неприоритетных требований.

Обозначим: i - число приоритетных требований, находящихся в системе на обслуживании, j - число неприоритетных требований, находящихся в системе на обслуживании. Очевидно, что в процессе функционирования СМО всегда должно выполняться условие 0 ≤ i+j≤ n.

Случайный процесс К(t), описывающий изменения числа требований в системе, также будет составным К(t) = K₁(t) + K₂(t), где K₁(t) – число приоритетных требований в системе, K₂(t) – неприоритетных требований.

Обозначим через P_i,j(t) вероятность того, что в системе в момент времени t находится i приоритетных и j неприоритетных требований, т.е.

.

По аналогии с неприоритетными системами, используя уравнения размножения и гибели (Колмогорова-Чепмена), можно записать уравнения для вероятностей состояний СМО в стационарном режиме.

До тех пор, пока число требований в системе в сумме меньше числа каналов обслуживания (1<i+j<n), вид уравнений принципиально не отличается от уравнений для СМО без приоритетов, и в системе «мирно уживаются», не мешая друг другу, одновременно два потока требований (с приоритетами и без приоритетов.

= 0

 , при 1 <i+j<n.

Если же число требований в системе уже достигло числа каналов обслуживания (1<i+j = n), то появление нового требования происходит только в случае возникновения требования с приоритетом (с интенсивностью λ₁). При этом в системе в данный момент должно быть хотя бы одно неприоритетное требование, которое вынуждено будет покинуть систему не обслуженным. Уравнение будет иметь вид:

               при 1<i+j = n     

Как видим написание системы уравнений, отвечающим данной СМО, весьма просто. Она позволяет вычислить любую из вероятностей P_i,j.

Специфическим элементом обслуживания в подобной системе с приоритетом является характер отказов.

1. Отказ приоритетному требованию (приоритетное требование подошло и получило отказ). Это может произойти, только если все каналы заняты такими же приоритетными требованиями.

2. Отказ неприоритетному требованию (отказ требованию 2-го потока). Здесь возможны варианты.

2.1. Подошло неприоритетное требование, но все каналы заняты. В этом случае неприоритетное требование получает «чистый отказ». Вероятность этого равна .

2.2. Подошлоприоритетное требование (1-го потока).Все каналы заняты, но хотя бы в одном из них обслуживается неприоритетное требование (2-ого потока). Неприоритетное требование будет вытеснено (получит отказ типа «недообслуживание»). Вероятность этого равна .

Следует отметить, что перечисленные вероятности потерь являются условными. Причем поступление очередного приоритетного требования (высшего ранга) является условием при вычислении вероятностей P_отк1 и P``_отк2, а появление неприоритетного требования - при вычислении вероятности P`_отк2.

 

Представляет интерес распределение числа требований 1-го и 2-го потоков раздельно. Для этой цели вводятся вероятности Р_.j и Р_i.

= P{K(t) =j}   и   = P{K(t) =i},

гдеi - приоритетные требования, j- неприоритетные требования.

Следует заметить, что распределение числа приоритетных требований в системе никак не зависит от числа неприоритетных, т.к. они (приоритетные) их просто «не замечают». Поэтому распределение числа приоритетных требований может быть описано с помощью уравнений и формул Эрланга, как если бы в системе был только один поток.

 

Пример. Одноканальная система M/M/1/m=0, с абсолютным приоритетом.

(два потока требований: первый– приоритетный (λ₁), второй – неприоритетный (λ₂).

Интенсивности обслуживания: ν₁ и ν₂).

Эта система может быть моделью телефонной линии: обычные абоненты – неприоритетные требования (среднее время разговора 1/ν₂), неисправности – приоритетные требования (среднее время ремонта 1/ν ).

Множество состояний:

    {0;0} – линия исправна и свободна,

    {1,0} – линия неисправна,

    {0,1} – линия исправна, но занята.

Составим уравнения для описания СМО в стационарном режиме и решим их:

       

Используя нормирующее условие    получим:

.

,

         .

 

Распределение состояний вычислено. Система в статистическом смысле полностью определена. Можно искать ее любые характеристики. Найдем описанные выше вероятности отказов:

P_отк1=Р_1,0 - вероятность, что все каналы заняты приоритетными требованиями. Линия неисправна, идет ремонт. Новая неисправность невозможна (отказ приоритетному требованию);

P_отк2`=Р_1,0+Р_0,1 – либо линия неисправна, либо кто-то разговаривает (поступившее требование на разговор получает «чистый» отказ);

P_отк2``=Р_0,1 Известно, что произошел отказ. В данном случае Р_0,1 – это вероятность, что отказ прервал разговор(вероятность занятости канала требованием 2-го потока в момент отказа).

Следует отметить, что перечисленные вероятности потерь являются условными. Причем поступление очередного приоритетного требования (высшего ранга) является условием при вычислении вероятностей P_отк1 и P_отк2``, а появление неприоритетного требования - при вычислении вероятности P_отк2`.