Взаимное расположение прямых

 

1) Параллельные прямые (а ║в)

К числу свойств параллельного проецирования относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между собой. Если прямая «а» параллельна прямой «в», то проецирующие плоскости α и β параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с плоскостью проекции π получаются параллельные между собой проекции а ′ и в ′(рис. 25).

Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой, фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции так же параллельны между собой.

Если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех плоскостей проекций π ₁, π ₂, π ₃, то эти прямые параллельны между собой в пространстве.

Рис. 25

 

Если даны параллельные между собой проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то параллельность прямых в пространстве этим подтверждается всегда для прямых общего положения (рис. 25), но может не подтвердиться для прямых уровня (рис. 26).

 

Рис. 26                                                    Рис. 27

 

Профильные прямые АВ и СDна рисунке 26 заданы проекциями А′В′║С′D′ и А′′В′′║С′′D′′, но построенные профильные проекции этих прямых не подтверждают параллельность прямых в пространстве.

В случае, изображенном на рисунке 27, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций π ₁, поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

 

1) Пересекающиеся прямые (а∩в)

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых.

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций(рис. 28).

Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к оси проекций или на чертеже без осей проекций, эти точки оказались бы на линии связи, установленного для нее направления.

Рис. 28

 

 

Рис. 29

 

Если одна из данных пересекающихся прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции прямых на этой плоскости, то нельзя утверждать, что прямые пересекаются между собой в пространстве. Это может быть подтверждено построением недостающих проекций (рис. 29).

Прямые а и в на рисунке 29 не пересекаются (а ∩ в), это видно по расположению профильных проекций этих прямых.

 

2) Скрещивающиеся прямые (а ÷ в)

 

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 30 изображены две скрещивающиеся прямые а и в общего положения.

Рис. 30

 

Хотя одноименные проекции прямых а и в пересекаются между собой, но эти точки представляют собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит прямой а, другая прямой в. Так точки К и N принадлежат прямой а, точки М и L принадлежат прямой в. В данном примере  на рис.30имеют место фронтально – конкурирующие точки – М и N, а К и L – горизонтально – конкурирующие. Точка М закрывает собой точку N по отношению к плоскости проекций π ₂, а по отношению к плоскости π ₁ точка К закрывает собой точку L. Направление взгляда указано стрелками.

Если хотя бы одна из скрещивающихся прямых параллельна профильной плоскости проекций, то о взаимном расположении прямых можно судить по изображению прямых на профильной плоскости проекций.

 

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций называется фронтальным следом прямой.

Точка пересечения с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой.

На рисунке 31 показаны точки Н и F, в которых прямая, заданная отрезком АВ пересекает плоскости проекций π ₁ и π ₂.

Горизонтальная проекция Н′ горизонтального следа Н совпадает с этим следом, а его фронтальная проекция Н′′ лежит на оси проекций х.

Фронтальная проекция F′′ фронтального следа F совпадает с этим следом, а его горизонтальная проекция F′ лежит на той же оси проекций – х.

Рис. 31

 

Чтобы найти горизонтальный след прямой АВ, надо продолжить фронтальную проекцию А′′В′′ до пересечения с осью «х» и через найденную фронтальную проекцию Н′′ горизонтального следа Н, провести линию связи проекций Н′′ и Н′ до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А′В′, что определит горизонтальную проекцию Н′ горизонтального следа Н, которая совпадает с самим следом (H′≡H), (рис. 32).

Рис. 32

 

Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию А′В′ до пересечения с осью х и найденную горизонтальную проекцию F′ фронтального следа F проводим линию связи проекций F′ и F′′ до пересечения с продолжением фронтальной проекции А′′В′′, что обозначит фронтальную проекцию F′′ фронтального следа F, которая совпадает с самим следом (F′′≡F).

Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа – у = 0.

По положению точек Н и F можно судить, к каким четвертям пространства отнесена данная прямая. На рисунке 32прямая АВ проходит через, I, II, IV четверти.

Прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

Безосные чертежи

 

Пусть дан некоторый отрезок прямой АВ, отнесенный к системе плоскостей π ₁ и π ₂. По чертежу этого отрезка (рис. 33) можно судить о его расположении относительно системы плоскостей; наличие оси х фиксирует это.

Пусть горизонтальная плоскость проекций π ₁ будет приближена к неподвижному отрезку АВ, соответственно ось х займет некоторое положение х₁, при этом ни длина, ни положение, относительно линий связи проекций А′В′ и А′′В′′ не изменятся (рис. 33).

Приближение (ось х₂ на рис. 33) фронтальной плоскости проекций π ₂ или удаление (ось х₁ на рис. 33) горизонтальной плоскости проекций π ₁ от отрезка не отразится на проекциях этого отрезка прямой АВ.

Следовательно, удаление или приближение к отрезку прямой плоскостей проекций параллельно самим себе не изменяет проекций этого отрезка. Поэтому на чертежах во многих случаях можно отказаться от изображения оси х (рис. 34).

 

 

Рис. 33                             Рис. 34

 

По безосному чертежу нельзя определить расстояния концов отрезка, точек А и В, до плоскостей проекций π ₁ и π ₂, так как положение π ₁ и π ₂ не зафиксировано, хотя их направления известны, как соответственно перпендикулярные линиям связи. По такому чертежу можно судить о разности расстояний точек А и В до плоскостей проекций, следовательно, о взаимном расположении, например, отдельно взятых отрезков прямых.

Контрольные вопросы

1. Как могут быть заданы проекции прямой на эпюре?

2. Сколько положений может занимать прямая линия относительно плоскостей проекций?

3. В чем заключена сущность метода прямоугольного треугольника?

4. Назовите признак параллельности прямых на эпюре.

5. Всегда ли подтверждается признак параллельности двух прямых на эпюре?

6. Каково необходимое и достаточное условие на эпюре признака пересекающихся прямых?

7. Что характерно на эпюре для скрещивающихся прямых?

8. Сколько следов имеют проецирующие прямые, прямые уровня, прямые общего положения?

9. О чем можно судить на безосном чертеже прямой линии?

 

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2002. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №3