Точка на многограннике

Если нужно на обеих проекциях многогранника построить точку, лежащую на одной из его граней, то следует «связать» точку с соответствующей гранью при помощи какой-либо прямой, находящейся на этой грани.

На рисунке 7 показано построение точки К на грани АSC пирамиды SABC.

Рис. 7

 

По данной горизонтальной проекции (К') точки К необходимо построить ее фронтальную проекцию. Для этого через горизонтальную проекцию вершины S пирамиды и точку К' проведена горизонтальная проекция прямой SM. Затем по горизонтальной проекции прямой SM построена её фронтальная проекция, на которой и определяется с помощью линии связи фронтальная проекция точки – К''.

На рисунке 8 показано построение недостающей горизонтальной проекции точки М по известной её фронтальной проекции – М'', причем эта проекция является видимой.

Рис. 8

 

Чтобы определить недостающую горизонтальную проекцию точки М, построена фронтальная проекция вспомогательной прямой – K′′N′′, проходящая через грань AGND и точку М.

Затем по фронтальной проекции прямой KN, c помощью линий связи найдена её горизонтальная проекция – K'N' на которой и определилась горизонтальная проекция точки – М'.

 

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

 

Для построения фигуры, получаемой при пересечении пирамиды и призмы проецирующей плоскостью, надо или найти точки, в которых ребра призмы или пирамиды пересекают данную плоскость, или найти отрезки прямых, по которым грани пирамиды или призмы пересекаются этой плоскостью.

В первом случае построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью, во втором случае – на пересечение плоскостей между собой. И т.к. секущая плоскость проецирующая, то проекции фигуры сечения получаются без каких-либо дополнительных построений.

На рисунке 9 показано построение фигуры сечения призмы АА₁ВВ₁СС₁DD₁ фронтально-проецирующей плоскостью β.

Рис. 9

 

Фронтальная проекция фигуры сечения K''P''M''N'' располагается на следе – ƒ''_оβ, горизонтальная проекция K'P'M'N'совпадает с горизонтальной проекцией призмы А'А'₁В'В'₁С'С'₁D'D'₁.

На рисунке 135 показано построение фигуры сечения пирамиды SABC горизонтально-проецирующей плоскостью (α).

Рис. 10                                                    Рис. 11

 

Горизонтальная проекция фигуры сечения K'L'M'N' располагается на следе h'_oα, фронтальная проекция - K''L''M''N'' находится с помощью линий связи, проведенных из горизонтальных проекций точек K',L',M',N' до фронтальных проекций ребер пирамиды SC и SB, где соответственно будут определены точки – L'' и M'' и до фронтальных проекций сторон основания – А''С'' и А''В'', где соответственно будут определены точки – К''и N''. Точки L и М это точки пересечения ребер SC и SB, а точки К и N – точки пересечения сторон основания пирамиды АС и АВ с заданной плоскостью α. Полученные фронтальные проекции точек К'',L'', М'',N''соединены прямыми линиями и таким образом получена фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды SABC плоскостью α. При этом нужно показать видимость фигуры сечения. Сторона MN фигуры сечения располагается на грани ASB, фронтальная проекция которой будет невидимой, т.к. эта грань заслоняется двумя другими гранями ASС и BSC, а это означает, что и М''N'' будет невидимой, поэтому на рисунке 10 она показана штриховой линией. К''L''и L''M'' будут видимые, т.к. они расположены на видимых гранях АSC и BSC по отношению к фронтальной плоскости проекций π ₂.

На рисунке 11 показано построение фигуры сечения пирамиды SDBC фронтально - проецирующей плоскостью γ.

Фронтальная проекция фигуры сечения К''G''V'' располагается на следе – ƒ''_оα, горизонтальная проекция находится с помощью линий связи, проведенных из фронтальных проекций – К'',G'',V'' до горизонтальных проекций ребер SD, SC, SB соответственно. Т.е. точки К,G,V являются точками пересечения этих ребер с плоскостью γ. Горизонтальная проекция фигуры сечения будет полностью видимой.