Линия пересечения двух многогранников может быть определена по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого: это – известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью.
Линия пересечения многогранников может быть определена и как линия пересечения граней многогранников: задача на определение линии пересечения двух плоскостей.
Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условия задачи дает более простое и наиболее точное решение.
Эти два способа построения линии пересечения двух многогранников часто комбинируют.
Линиями пересечения двух многогранников в общем случае являются пространственные замкнутые многоугольники. В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения линиями пересечения могут быть один, два и более пространственных многоугольников.
Если один многогранник частично пересекается другим, как бы не полностью врезается в другой многогранник, то имеем одну замкнутую пространственную ломаную линию их взаимного пересечения. Такое взаимное пересечение выпуклых многогранников называют неполным проницанием.
|
|
Если один многогранник полностью пересекается вторым многогранником, получаем две линии их пересечения – линию входа одного многогранника в другой и линию выхода. Такое взаимное пересечение многогранников называют полным проницанием.
На рисунке 15 показано построение линии пересечения полного проницания прямой трехгранной призмы с треугольной пирамидой. Призма своим основанием стоит на горизонтальной плоскости проекций π 1. Горизонтальные проекции её ребер преобразуются в точки, а грани преобразуются в отрезки прямых, т.е. они представляют собой горизонтально – проецирующие плоскости.
Линия пересечения двух многогранников определяется по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.
Так, ребро АD пирамиды пересекает две грани призмы, одну – в точке 1, другую – в точке 8. Ребро ВD пирамиды пересекает две грани призмы в точках 2 и 5. Ребро СD – в точках 3 и 4.
Из трех боковых ребер призмы только одно (ребро Е) пересекает пирамиду. Чтобы найти точки пересечения этого ребра с гранями пирамиды, через ребро Е призмы и вершину D пирамиды проводим вспомогательную горизонтально – проецирующую плоскость γ. Она пересекает пирамиду по прямым линиям, которые пересекают ребро призмы Е в точках 6 и 7. Эти точки и являются точками пересечения ребра призмы Е с гранями пирамиды DAB и DAC.
Рис. 15
Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 568745, другая треугольник 1231.
|
|
На фронтальной проекции отрезки 1-3 и 3-2 линии пересечения видимы, т.к. они принадлежат видимым граням DAC и DBC. Отрезок 1-2 является невидимым во фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой в этой проекции грани призмы VF и невидимой грани пирамиды DAB.
Во фронтальной проекции также видимы отрезки 5-4 и 4-7 второй линии пересечения, а отрезки 5-6, 6-8, 8-7 этой линии невидимы.