Преобразование проекций способом замены плоскостей проекций. Замена ряда плоскостей проекций

План лекции

1. Сущность способа замены плоскостей проекций.

2. Введение в систему π ₁, π ₂ одной плоскости проекций.

3. Введение в систему π ₁, π ₂ двух дополнительных плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций

Этот способ заключается в том, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве не изменяется, а система π ₁, π ₂, π ₃  дополняется плоскостями, образующими с π ₁ или π ₂, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Каждая новая система выбирается так, чтобы по отношению к заданным геометрическим элементам она заняла положение, наиболее удобное для выполнения требуемого решения.

В ряде случаев для получения системы плоскостей проекции, разрешающей задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например π _3┴ π ₁ или π _4┴ π ₂.

Если введение одной плоскости π ₃ или π ₄, не позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость π _3┴ π ₁, получают первую новую систему – π ₃, π ₁, а затем от этой системы переходят ко второй новой системе, вводя плоскость π _4┴ π ₃. При этом плоскость π ₄ оказывается плоскостью общего положения в основной системе π ₁, π ₂.

Ось проекций отмечают записью в виде дроби, считая, что черта лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы числитель и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону оси, где должны размещаться соответствующие проекции.

 

7.2. Введение в систему π ₁, π ₂ одной плоскости проекций

Введение в основную систему π ₁, π ₂ плоскости π ₃ перпендикулярно π ₁.

Введя в систему π ₁, π ₂ некоторую плоскость π _3┴ π ₁, мы получим, помимо системы π ₁, π ₂ ещё систему π ₃, π ₁ (рис. 1).

Рис. 1

 

На рисунке  показано преобразование проекций точки А из системы π₁, π ₂ в систему π ₁, π ₃, в которой вместо плоскости π ₂ введена новая плоскость π ₃, а плоскость π ₁ осталась неизмененной. При этом π _3┴ π ₁. В системе π ₁, π ₃ горизонтальная проекция А' точки А осталась неизменной. Проекция А''' на плоскости π ₃ находится от плоскости π ₁ на том же расстоянии, что и проекция А'' точки А на плоскости π ₂. Это условие позволяет легко строить проекцию точки на чертеже на новой плоскости проекций. Для этого в новой системе π ₁, π ₃ из проекции точки А' на сохраняющейся плоскости проекций проводят линию связи, перпендикулярную к новой оси проекций – х₁ (рис. 2). На этой линии связи отмечают расстояние от оси х₁ до проекции А''' точки на новой плоскости проекций π ₃, равное расстоянию от преобразуемой проекции точки А'' до оси проекций х в системе π ₁, π ₂ (А_хА''=А_х1А''').

При введении новой плоскости проекций, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, например, плоскости π ₃ на рисунке 3, расстояние от В''' до новой оси проекций х₁ равно расстоянию от горизонтальной проекции точки – В' до оси х (В_хВ'=В_х1В''').

Рис. 2

 

Рис. 3

 

Как правило дополнительная плоскость, вводимая в систему π ₁, π ₂ в качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию, отвечающему цели построения.

Например, на рисунке 4 показано определение натуральной величины (А'''В''') отрезка АВ и угол его наклона α к плоскости π ₁, как это требовалось по условию задачи. Плоскость π ₃ установлена перпендикулярно к плоскости π ₁ и параллельно АВ.

Рис. 4

 

На рисунке 5 показано введение в систему π ₁, π ₂ плоскости π ₃. Для того, чтобы определить угол β между прямой СD и плоскостью проекций π ₂, плоскость π ₃ будет установлена перпендикулярно к плоскости π ₂ и параллельно СD.

Рис. 5

 

Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность преобразовать плоскость общего положения, заданную в системе π ₁, π ₂, в перпендикулярную к дополнительной плоскости проекций.

Пример дан на рисунке 6, где дополнительная плоскость π ₃ проведена так, что плоскость общего положения, заданная треугольником АВС, становится перпендикулярной к плоскости π ₃.

В треугольнике АВС проведена горизонталь АD. Плоскость, перпендикулярная к АD, перпендикулярна к ∆ АВС и в то же время к плоскости π ₁ (так как АD ║ π ₁). Этому удовлетворяет плоскость π ₃ и ∆АВС проецируется на неё в отрезок С'''В'''.

Рис. 6

 

Если плоскость общего положения α задана следами, то плоскость π ₃, проведенная перпендикулярно к следу h_oα, будет перпендикулярной к плоскости π ₁ и к плоскости α. При этом будет необходимым построить след плоскости α на плоскости π _3. Так как α_┴ π ₃, то проекция на плоскости π ₃ любой точки плоскости α получится на следе ƒ_1оα.

На рисунке 123 такой точкой служит точка N, взятая на следе ƒ_оα, построена её проекция N''', через которую, а так же через точку схода следов плоскости α – х_1α проходит след ƒ_1оα.

Рис. 7

 

Построения на рисунках 8 и 9 приводят к получению угла наклона(α) заданных плоскостей к плоскости π ₁.

Очевидно, что если взять плоскость π ₃,перпендикулярную к плоскости π ₂ и к заданной плоскости общего положения α, то определяется угол наклона β, заданной плоскости к плоскости π ₂ (рис. 8).

Рис. 8

 

7.3. Введение в систему π ₁, π ₂ двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим введение в систему π ₁, π ₂ двух дополнительных плоскостей проекций на следующем примере(рис. 9).

Чтобы определить натуральную величину ∆АВС, представляющего собой плоскость общего положения, необходимо ввести две дополнительные плоскости проекций π ₃ и π ₄, но таким образом: π _3┴ π ₁ и π _3┴∆АВС, а π _4┴ π ₃ и π ₄║∆АВС.

Рис. 9

 

Введение дополнительной плоскости проекций π ₃ дает возможность, как и в примере данном на рисунке 6, плоскость общего положения, заданную ∆АВС, установить в проецирующее положение по отношению к плоскости π ₃. ∆АВС на эту плоскость спроецировался в прямую линию – С'''В'''.

Затем, введение дополнительной плоскости проекций π ₄ позволило определить натуральную величину ∆АВС; ось х₂ проведена параллельно С'''А'''В''', т.е.плоскость π ₄ проведена параллельно плоскости ∆АВС. Полученная на плоскости π₄ проекция ∆АВС – А₀В₀С₀ и есть его натуральная величина.

 

Контрольные вопросы

1. В чем заключается сущность способа замены плоскостей проекций?

2. Согласно чему выбираются дополнительные плоскости проекций?

 

 

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2002. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №8