Кронекер – Капелли теоремасы. 8 страница

Түзудің параметрлік теңдеуі:

Кеңістіктің теңдеуі. Кеңістіктегі жазықтықтың және түзудің теңдеуі, және оның түрлері. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.

Анықтама. Жазықтық – x,y,z айнымалыларына байланысты координаталары бірінші дәрежелі теңдеуді қанағаттандыратын, кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орны болып табылады.

Ax+By+Cz+D = 0 (1) – жазықтықтың жалпы теңдеуі.

Жазықтықтың теңдеуі. Жазықтықтың теңдеуін құру үшін осы жазықтықта нүкте және жазықтыққа перпендикуляр болатын векторы берілсін.

M(х,y,,z) жазықтықтың кез келген нүктесі, онда векторы векторына перпендикуляр, және , онда (скалярлық көбейтінді) координаталар түрінде

Бұл жазықтықтың теңдеуі. Теңдеуді түрлендіріп

теңдеуіне келеміз, мұнда жазықтықтың жалпы теңдеуі.

Мысал. нүктеден өтетін және векторына перпендикуляр болып өтетін жазықтықтың теңдеуін жазу керек.

Шешімі: (3.22) теңдеуді пайдалансақ

Жазықтықтың толық емес теңдеулері. Енді жазықтықтың жалпы теңдеуінің кейбір дербес жағдайларын қарастырайық:

а) , онда жазықтығы координата жүйесінің бас нүктесінен өтеді.

б) С=0 болсын, онда Ах+Ву+С=0 жазықтығы 0z осіне параллель болады.

в) С=0, D=0 онда Ах+D=0 немесе координаталық жазықтығына параллель болады.

е) Егер және ≠0 болса онда Ах=0, х=0 теңдеуі OYZ координаталық жазықтығының теңдеуі болады.

Осылай талқылап y=0 XOZ, z=0 XOY координаталық жазықтықтарының теңдеулерін жазады. Егер А≠0 В≠0 С≠0 D≠0 болса онда жазықтықтың жалпы теңдеуін мынадай түріне келтіруге болады. Мұнда деп белгілесе

теңдеу түріне келеміз. Бұл жазықтықтың кесінділер арқылы берілген теңдеуі деп аталады.

Мысал-12: Жазықтықтың теңдеуін кесіндінің теңдеуі түріне келтір.

Шешімі: Осьтерді кесіп өтетін жазықтықтың кесінділер шамаларын табу:

Жазықтықтың нормаль теңдеуі. Жазықтықтың нормаль теңдеуі деп теңдеуін айтады. Мұнда р>0 шамасы координаталар басынан берілген жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың ұзындығы, ал - сол перпендикулярдың координаталар осьтерінің оң бағыттарымен жасайтын бұрыштары. Егер жазықтық жалпы Ax+By+Cz+D=0 теңдеумен берілсе, оны нормальдық түріне келтіру үшін, теңдеуді санына көбейту керек яғни Екі (3.25) және (3.26) теңдеулерін салыстырса

- нормалаушы көбейткіш деп атайды, оны (3.27) теңдіктерінен табамыз:

Мұнда -дің таңбасы D-нің таңбасына қарама-қарсы алынады. Осы

-дің мәнін (3.26) теңдеуіне қойса, келесі теңдеуге келеміз:

нүктесінен жазықтыққа дейінгі қашықтығын табу үшін, осы нүктенің координаталарын нормальдық теңдеуіне қойып, содан шыққан нәтижесінің абсолют шамасын алады, яғни

20. Кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуі. Кеңістікте түзу бірінші дәрежелі екі теңдеумен анықталады:

Үш белгісізі бар, екі сызықтық теңдеулер кеңістіктегі түзудің жалпы теңдеуін анықтайды, егер ≠ ≠ болса.

Жазықтықтардың бір түзуден өтетін жиынын жазықтықтар шоғы деп атайды. Теңдеу

жазықтықтар шоғының теңдеуі.

21. Кеңістіктегі түзу сызықтың канондық теңдеуі.

Айталық, түзуде нүкте және осы түзуге параллель векторы берілсін. - түзудің бағыттаушы векторы деп аталады. Түзуде M(x,y,z) кез келген нүкте алайық, онда II . Екі вектордың параллельдік шартты бойынша

теңдеуі анықталады. (3.32) түзу сызықтың канондық теңдеуі.

22. Түзу мен жазықтықтың кеңістікте өзара орналысуы. Екі жазықтық арасындағы бұрыш формуласымен анықталады. Егер екі жазықтық өзара перпендикуляр болса онда

Ал екі жазықтық өзара параллель болса, онда

Жазықтық ал түзу сызық теңдеулерімен берілсе, онда

Жазықтық пен түзудің арасындағы параллельдік (3.36) және перпендикулярлық (3.37) шарттары.

Мысал. түзуімен жазықтықтығының қиылысу түзуінен өтетін жазықтықтығының теңдеуін құру керек.

Шешімі. Жазықтықтар шоғының теңдеуін құрайық

жазықтықтың түзуге параллель болатын шартын (3.36) қолданып , -ны табымыз, яғни , онда ізделінген теңдеу .

Плоскость, проходящая через точку M(x₀,y₀,z₀):

A(x-x₀) +B(y-y₀)+C(z-z₀)= 0 (3), с нормальным вектором N=(A,B,C).

Пример-13: Даны точки . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярной к вектору .

Решение: Уравнение связки плоскостей, проходящих через точку М₁, будет

. Нормальный вектор искомой плоскости имеет координаты . Подставив их на место в уравнение связки, получим:

или . Это и есть уравнение искомой плоскости.

x cosα + y cosβ + cosγ = p (4) – уравнение плоскости в нормальном виде и - нормирующий множитель.

Пример-14: Привести уравнение к нормальной форме.

Решение: , то нормальное уравнение имеет вид

(5)-уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Пример-15: Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и .

Решение:

Пусть произвольная точка

М₂ лежит на искомой плоскости. Для этого

М₁ М необходимо и достаточно, чтобы векторы

М₃ были компланарны

или чтобы (рис.8.):

рис.8.

Расстояние от точки M(x₀,y₀,z₀) до плоскости (1): d = (6).

Пример-16: Найти расстояние точки от плоскости

Решение: .

, где t – параметр (7). Это параметрическое уравнение прямой в пространстве.

, где (8)- каноническое уравнение прямой.

В общем виде общее уравнение прямой: (9).

Әдебиеттер тізімі.

Негізгі әдебиеттер:

1. Экономистерге арналған жоғары математика. Н.Ш.Кремер редакциясы, М.,1997ж.

2. Д. Письменный Жоғары математика бойынша лекциялар конспектісі, 1 бөлім, Москва, 2004 ж.

3. Г.Н. Яковлев Математика для техникумов, 2 бөлім, М., 1978ж.

4. А.П. Рябушко Сборник индивидуальных заданий по высшей математике, Минск, 1990 ж.

5. Жоғары математика бойынша бақылау жұмыстары.

Қосымша әдебиеттер:

1. Н.Ш. Крамер Жоғары математика бойынша практикум, М., 2005 ж.

2. Шипачев В.М. Жоғары математика, т.1,2. М.,1985ж.

3. А.Н. Колесников Краткий курс математики для экономистов, 1997 ж.

Лекция-6. Жиын. Математикалық логика символы мен элементтері және олардың қолданылуы. Санды тізбектер және оның шегі, қасиеттері. Функция, оның берілу тәсілдері, классификациясы.

Жиын.

Математиканың негізгі ұғымдарының бірі - жиын ұғымы, оған математикалық анықтама беруге болмайды.

Жиын деп белгілі бір белгілеріне қарай ережемен (заңмен) біріктірілген түрлі заттардың тобын түсіну керек. Жиынды құратын заттарды оның элемменттері деп атайды.

Жиындарды әдетте латын алфавитінің бас әріптерімен A,B,C,X,Y....., ал олардың элементтерін кіші әріптермен a,b,c,x,y...., белгілейді.

Рационал сан деп екі бұтін санның қатынасы , (n # 0) түрінде өрнектелетін санды айтады. Рационал сандар жиынын Q белгілейді.

Рационал санды шекті ондық бөлшек түрінде жазуға болатыны мектептен белгілі.

Кез келген периодсыз шексіз бөлшекті иррационал сан деп атайды. Иррационал сандар жиынын J деп белгілейді.

Барлық рационал және иррационал сандар жиынын нақты сандар жиыны деп атап R деп белгілейді.

нақты сандар жиынын элемменттерімен толықтырып, оны кеңейтілген нақты сандар жиыны деп атайды да былай белгілейді.

Нақты сандардың жиыны берілсін.

1⁰. Жиындардың теңдігі. Жоғарыда анықталған кірістіру символы бойынша жиындардың теңдігі анықталады.

Егер және жиындары үшін және кірістірулері бірдей орындалса, онда және жиындары тең дейді де, символымен белгілейді.

2⁰. Жиындардың қиылысуы. және жиындарының қиылысуы деп жиынын, яғни және жиындарында бірдей жататын элементтерінен құрылған жиын аталады.

3⁰. Жиындардың біріктіруі. және жиындардың біріктіруі деп жиынын, яғни және жиындарының кемінде біреуінде жатқан элементтеріне құрылған жиынды айтады (бұған мен -те жататын элементтер де кіреді).