Вычеты. Основная теорема о вычетах

Для вычисления криволинейных интегралов от аналитич ф-й, имеющих лишь изолированные особые точки вводится понятие вычета.

Опр: пусть т. z₀ – изол особая т однозначного характера ф-и f(z), g - замкнутый контур, ориентированный положительно и т. z₀ лежит внутри g. F(z) – аналитична на g и во всех т. внутри контура, кроме т. z₀. Тогда

Теор: пусть f(z) – аналитична в области D, кроме конечного числа изолированных особых т. z1,z2,…zn, аналитична на границе области В т.е. в контуре Г, ориентированно положительно относительно обл D.

Утверждение: пусть т. z₀ – изол особая т. ф-и f(z), тогда Res f(z) =a_-1 при слагаемом 1/(z-z₀) из разложения ф-и в ряд Лорана в обл 0<| z-z₀|<R.

Вычисление вычета в случае полюса.

Пусть дана ф-я f(z) имеет полюс в т.z₀ k-го порядка, тогда в окрестности этой т. ф-ю f(z) можно разложить в:

Получаем, что

В силу того, что F(z) непрерывна в окрестности т. z₀

В силу того, что F(z) аналитич в некот окр т. z₀, вместо F(z) подставим ее выражение т.е. f(z)(z-z₀)^k , где z₀- полюс к-го порядка.

, где z₀ – простой полюс.

Если f(z)=j(z)/y(z), где j(z),y(z) – аналитичны в т. z₀, y(z) в т. z₀ имеет простой полюс, т.е. y(z₀)=0, y(z₀)’¹0, тогда f(z) имеет в т. z₀ прав т., если j(z₀)=0 и полюс (простой) если j(z₀)’¹0