Геометрический смысл частных производных

*(допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

В пространстве XYZ условие y = y0 описывает плоскость P,

перпендикулярную оси OY и пересекающую эту ось в точке y0. Плоскость P

пересекается с графиком функции z = f(x,y), вдоль некоторой линии L, как

показано на рисунке 1. Тангенс угла между плоскостью XOY и касательной к

линии L в точке с координатами x0,y0 равен частной производной по x функции

z = f(x,y) в этой точке. В этом состоит геометрический смысл частной

производной.

Аналогичное заключение можно сделать относительно частной производной

по y.

Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

Производные

(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)

(c*u(x))=c*u'(x)

(u(x)+-v(x))'=u'(x)+-v'(x)

(u(x)/v(x))'=(u'(x)*v(x)+ u(x)*v'(x))/v²(x)

u(v(x))'=u'v+v'x

(xa)'=a*xa-1

(sin(x))'=cos(x)

(cos(x))'=-sin(x)

(tg(x))'=1/cos2(α)

(ctg(x))'=-1/sin2(α)

(e^x)'= e^x

(ln(x))'=1/x

(loga(x))'=1/xln(a)

(arcsin(x))'=1/√(1-x2)

(arccos(x))'=-1/√(1-x2)

(arctg(x))'=1/(1+x2)

(a ^x)'=a^xln(a)

касательная

y-y0=y`(x0)(x- x0)

нормаль

y-y0=(-1/y`(x0))*(x- x0)

Логарифмы

y=ax, x=loga(y)

y=aloga(y)

logb(a1a2)= logb(a1)+logb(a2)

logb(a1/a2)= logb(a1)-logb(a2)

logb(ak)=k logb(a)

logb(a)=logc(a)/logc(b)

(n+1)!=n!(n+1)

n!=1*2*3*4*…*n

Ckn=n!/(n-k)!*k!

Лимиты

[c/∞]=0 [c/0]= ∞ [0/∞]=0 [∞/0]= ∞

первый замечательный предел

lim[(sin(x))/x] (при х→0)=1 lim[(arcsin(x))/x] (при х→0)=1

lim[(1-cos(x))/x2] (при х→0)=1/2 lim[(tg(x))/x] (при х→0)=1

lim[(arctg(x))/x] (при х→0)=1

lim[1/f(x)]=1/lim f(x)

lim[(x/sin(x))] (при х→0)=1

(1+x)1/x (при х→0)=e=2.718

второй замечательный предел

lim

lim[(ln(1+x)/x] (при х→0)=1 lim[(loga(1+x)/x] (при х→0)=1/ln(a)

lim[(ex-1)/x] (при х→0)=1 lim[((1+x)a-1)/x] (при х→0)=a

lim[(ax-1)/x] (при х→0)=ln(a)

lim [f(x) g(x)] (при х→х0)=lim f(x) (при х→х0) lim g(x) (при х→х0)

1.sin x~ x tg x ~ x

arcsin x ~ x arctg x ~x

(1- cos x)~ x e^x-1 ~x

a^x-1 ~xlna ln(1+x)~x

log (1+x)~ xlog e

(1+x) -1~kx, k>0

Тригонометрия

cos2(α)+sin2(α)=1

cos(α-β)= cos(α) cos(β)+sin(α)sin(β)

cos(α+β)= cos(α) cos(β)-sin(α)sin(β)

sin(α+β)=sin(α) cos(β)+cos(α)sin(β)

sin(α-β)=sin(α) cos(β)-cos(α)sin(β)

tg(α+β)=(tg(α)+tg(β))/(1-tg(α)tg(β))

tg(α-β)=(tg(α)-tg(β))/(1+tg(α)tg(β))

cos(π/2-α)=sin(α)

sin(π/2-α)=cos(α)

cos(2α)= cos2(α)-sin2(α)

cos(2α)= 1-2 sin2(α)

cos(2α)=2cos2(α)-1

sin(2α)=2cos(α)sin(α)

tg(2α)=2tg(α)/(1-tg2(α))

sin2(α)=(1-cos(2α))/2

cos2(α)=(1+ cos(2α))/2

tg2(α)=(1-cos(2α))/(1+ cos(2α))

sin(α)=2tg(α/2)/(1+tg2(α/2))

cos(α)= (1-tg2(α/2))/ (1+ tg2(α/2))

sin(α)sin(β)=(1/2)(cos(α-β)-cos(α+β))

cos(α)cos(β)=(1/2)(cos(α-β)+cos(α+β))

sin(α)cos(β)=(1/2)(sin(α+β)+cos(α-β))

sin(α)-sin(β)=2sin((α-β)/2)cos((α+β)/2)

sin(α)+sin(β)=2sin((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cos(α)+cos(β)=2cos((α+β)/2)cos((α-β)/2)

cos(α)-cos(β)=2sin((α+β)/2)sin((β- α)/2)

tg2(α)+1=1/cos2(α)

1+ctg2(α)=1/sin2(α)

2sin2(α)=1- cos2(α)

sin2(α)=(1- cos2(α))/2

Асимптоты.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a.

Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при: