2020-01-15
97
*Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.
*С л е д с т в и е. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.
| П р и м е р. | Функция y = | x | (рис.3) всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0, так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. (Подумайте, почему?) |
Лагранжа
Отношение f(b)-f(a) / b-a есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина f I(c) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=c, следовательно геометрический смысл т. Лагранжа заключается в следующем: на графике y=f(x) найдется точка C(c;f(c)) в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ.
СЛЕДСТВИЕ:
Если, производная функции yi=0 на некотором промежутке, то ф-я постоянна на этом промежутке.
Если две ф-ии имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличны друг друга на постоянное слагаемое.
|
|
|
Теорема Лагранжа
Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема на (a;b), то найдется хотя бы одна точка 
, такая, что f(b)-f(a)=f I(c)(b-a)
*ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Положим в т. Коши φ(x)=x
Подставим эти значения в формулу:
Что и требовалось доказать.
Правило Лопиталя
Если 
То f(x) и φ(x) в некоторой окрестности содержат точку x=x0 удовлетворяющую всем условиям т. Коши.
*Предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
при условии, что предел правой части равенства существует.
*Правило Лопиталя применимо и в том случае когда:
Аргумент x стремится к бесконечности
*Если отношение производных f I и φi при x стрем. к беск. Снова приводит к неопределенности вида 0/0 или ∞/∞.
При выполнении требуемых условий правило Лопиталя можно использовать повторно.
