Деление кристаллических многогранников по категориям

 

В живой природе у фигуры нет запрета на порядок оси симметрии. Конус и шар имеют бесконечное число осей симметрии бесконечного порядка. Каждый диаметр шара является такой осью. В кристаллах сочетания элементов симметрии строго ограничены: возможны только оси симметрии 1, 2, 3, 4 и 6-го порядков. Фигуры с этими осями плотно прилегают друг к другу и заполняют всю плоскость сплошь без промежутков. На рис. 3.10 сетка составлена из одинаковых шестиугольников, которые вплотную прилегают друг к другу и запол­няют всё пространство без пустот. Шестиугольник имеет оси симметрии 3-го и 6-го порядков.

 

Рис. 3.10.Фигура, составленная            Рис. 3.11.Фигура, составленная

из шестиугольников                               из пятиугольников

Заполним пространство пятиугольными фигурами (рис. 3.11). Пятиугольники, семиугольники и восьмиугольники не могут примыкать друг к дру­гу вплотную, между ними всегда будут оставаться пустые промежутки.

Кристалл сложен из бесконечно повторяющихся рядов, сеток, решёток, а детали атомного узора в них должны повторяться непрерывно, одинаково. Поэтому в структурах кристаллов и во внешних формах кристаллов не может быть осей симметрии 5, 7-го порядков и выше.

Все элементы симметрии (плоскости, оси, центр) могут разнообразно соче­таться друг с другом. В любом кристаллическом многограннике можно найти различные сочетания элементов симметрии. В кристалле может быть единст­венное, не повторяющееся направление. Оно называется единичным, или особым.

По осям симметрии и числу единичных направлений кристаллы (многогранники) делятся на три категории: высшую, среднюю и низшую. Рассмотрим каждую из них.

К кристаллам высшей категории относятся самые симметричные кристаллы кубической сингонии: только куб, октаэдр, тетраэдр (рис. 3.12). Они могут иметь несколько осей симметрии 2, 3 и 4-го порядков, но не имеют оси симметрии 6-го порядка. Кристаллы высшей категории могут иметь плоскости и центр симметрии. У этих кристаллов слабо выражена анизотропия физиче­ских свойств, так как свойства кристалла в симметрично эквивалентных на­правлениях должны быть одинаковыми.

                        

Рис. 3.12.Куб и тетраэдр

 

К кристаллам высшей категории относятся алмазы, гранаты, германий, кремний, медь, золото, серебро, вольфрам, железо, серое олово.

С реднюю категорию составляют кристаллы, имеющие только по одной оси симметрии 3, 4 и 6-го порядков, осей 2-го порядка может быть несколько, также возможны плоскости и центр симметрии. В кристаллах средней категории резко различаются свойства вдоль и поперёк главной оси симметрии и сильно выражена их анизотропия. К кристаллам средней категории относятся призмы, пирамиды (рис. 3.13). Средняя категория содержит кристаллы тригональной, тетрагональной и гексагональной сингоний.

 

 

Рис. 3.13.Треугольная и шестиугольная призмы

 

К кристаллам средней категории относятся графит, рубин, кварц, цинк, магний, турмалин, белое олово.

Низшая категория содержит кристаллы, у которых имеются только оси 2-го порядка или несколько единичных направлений. Кристаллы этой категории могут содержать плоскости или центр симметрии. У кристаллов низшей категории самые сложные структуры. Это наименее симметричные кристаллы с ярко выраженной анизотропией свойств. Низшая категория содержит кри­сталлы ромбической, триклинной, моноклинной сингоний.

К кристаллам низшей категории относятся: гипс, слюда, медный купорос, сегнетовая соль.

 

Классы симметрии

Каждый кристаллографический многогранник обладает определённым набором элементов симметрии. Полное сочетание элементов симметрии много­гранника называется его классом, или точечной группой, симметрии. Для кристаллов существует всего 32 класса симметрии.

Вещества распределены по 32 классам крайне неравномерно: в классе № 5 кристаллизуется почти половина всех минералов; класс № 30 выбрали только 5 минералов; металлы сосредоточены в двух классах: № 20 и 32.

К очень большому различию физических свойств кристаллов приводит ещё один важный результат: есть классы, в которых существуют полярные направления; есть классы, в которых полярных направлений быть не может.

Существуют законы сочетания элементов симметрии. Эти законы властвуют над кристаллами, определяя их внешнюю форму, атомную структуру и физические свойства. Все возможные элементы структур могут многообразно сочетаться друг с другом, образуя пространственную группу симметрии. Полное сочетание элементов симметрии кристаллографического многогран­ника называется классом симметрии, или точечной группой симметрии. В симметричных многогранниках операции симметрии сочетаются друг с другом. Не все сочетания элементов симметрии возможны. Например: ось 4-го порядка не может быть перпендикулярна оси 3-го или 6-го порядка.

Русский кристаллограф Е.С. Фёдоров и немецкий математик А. Шенфлис в конце ХIХ века вывели все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в расположении частиц внутри кристаллов. Оказалось, что число таких законов ограничено и имеется всего 230 пространственных групп, получивших название «Фёдоровские группы симметрии». Каждая кри­сталлическая структура характеризуется присущей ей Фёдоровской простран­ственной группой.

Все возможные сочетания элементов симметрии чётко ограничены не­сколькими теоремами о сочетании операций симметрии.

Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии является осью симметрии, причём угол поворота вокруг этой оси в два раза больше угла между плоскостями.

 

Теорема 1а (обратная). Поворот вокруг оси симметрии на угол α эквивалентен отражениям в двух плоскостях симметрии, проходящих вдоль оси; угол между плоскостями равен α/2, причём отсчёт угла производится в направлении поворота.

Теорема 2. Точка пересечения чётной оси симметрии с перпендикулярной ей плоскостью симметрии есть центр симметрии.

Теорема 2а (обратная). Если есть чётная ось симметрии и на ней центр симметрии, то перпендикулярно этой оси проходит плоскость симметрии.

Теорема 2б (обратная). Если есть центр симметрии и через него проходит плоскость симметрии, то перпендикулярно этой плоскости через центр проходит чётная ось симметрии.

Теорема 3. Если есть ось симметрии n-го порядка и перпендикулярно этой оси проходит ось 2-го порядка, то всего имеется n осей 2-го порядка, перпендикулярных оси n-го порядка.

Теорема 4. Если есть ось симметрии n-го порядка и вдоль неё проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей имеется n.

Теорема 5 (теорема Эйлера). Равнодействующей двух пересекающихся осей симметрии является третья ось симметрии, проходящая через точку их пересечения.

Теорема 6. Плоскость, проходящая вдоль чётной инверсионной оси симметрии, приводит к появлению оси 2-го порядка, перпендикулярной инверси­онной оси и проходящей по биссектрисе угла между плоскостями.

Сложение элементов симметрии можно осуществлять геометрически или производить матричным методом. Используя все законы симметрии структуры кристаллов, обобщая фактический материал по измерениям кристаллов, Фёдоров соединил воедино опыт и теорию. Он пришёл к выводу, что внешние грани кристалла соответствуют его плоским сеткам, т. е. плоскостям, на которых рас­положены реальные частицы. Кроме того, чаще всего встречающиеся грани кристалла совпадают с теми плоскими сетками, на которых частицы располо­жены гуще всего. Таким образом, по внешней форме кристалла можно судить о расположении частиц в его решётке.