При анализе прохождения стационарного СП через линейные электрические цепи (рис. 1) будем полагать, что режим цепи установившийся, т.е. после подачи на вход цепи сигнала все переходные процессы, связанные с включением, закончились. Тогда и выходной СП будет стационарным. Рассматриваемая задача будет состоять в том, чтобы по заданной корреляционной функции входного сигнала или его спектральной плотности мощности определить B (t) или G (w) выходного сигнала.
Рис. 1
Сначала рассмотрим решение этой задачи в частотной области. Входной СП задан своей спектральной плотностью мощности Gх (). Выходная спектральная плотность мощности G y(w) определяется по формуле
Gy () = Gх () K 2(), (1)
где K 2() - квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Возведение в квадрат модуля основано на том, что искомая характеристика является действительной функцией частоты и энергетической характеристикой выходного процесса.
Для определения связи между корреляционными функциями необходимо применить к обеим частям равенства (1) обратное преобразование Фурье:
|
|
Bx () = F -1 [ Gx ()]; F -1 [ K 2()] = Bh ()
- корреляционная функция импульсной характеристики исследуемой цепи:
Bh ()= h (t) h (t - ) dt.
Таким образом, корреляционная функция выходного СП есть
By () = Bx () Bh () = Bx(t) Bh (t - t) dt.
ПРИМЕР 1 прохождения стационарного случайного широкополосного сигнала через RC -цепь (фильтр нижних частот), представленную схемой на рис. 2.
Широкополосность понимается так, что энергетическая ширина спектра входного СП намного больше полосы пропускания цепи (рис. 3). При таком соотношении между формой K 2() и Gx () можно не рассматривать ход характеристики Gx () в области верхних частот.
Рис. 2
Учитывая, что в полосе частот, где K 2(w) существенно отличается от нуля, спектральная плотность мощности входного сигнала равномерна, можно без существенной погрешности входной сигнал аппроксимировать белым шумом, т.е. положить Gx () = G 0 = const. Такое предположение существенно упрощает анализ. Тогда Gy () = G 0 K 2()
Для заданной цепи
K 2() = 1/[1 + ( RC)2], тогда Gy () = G 0/[1 + ( RC)2].
Рис. 3
Определим энергетическую ширину спектра выходного сигнала. Мощность выходного СП
Py = sy 2 = (2p) -1 Gy () d = G 0/(2 RC), тогда
D э = (G0)-1 Gy () d = p/(2RC).
На рис. 4 показаны корреляционная функция выходного СП и его спектральная плотность мощности.
Спектральная плотность мощности по форме повторяет квадрат модуля комплексной передаточной функции цепи. Максимальное значение Gy () равно G 0. Максимальное значение корреляционной функции выходного СП (его дисперсия) равна G 0/(2 RC). Нетрудно определить площадь, ограниченную корреляционной функцией. Она равна значению спектральной плотности мощности при нулевой частоте, т.е. G 0:
|
|
.
Рис. 4
Энергетической (шумовой) полосой пропускания электрической цепи называется полоса частот, численно совпадающая с энергетической шириной спектральной плотности мощности сигнала на выходе цепи при воздействии на вход цепи белого шума. В заданной случае D э = p/(2 RC). Сравним ее с полосой пропускания гр этой же цепи на уровне 0,707. Так как гр = 1/(RC), то Dwэ = p/2 гр, то есть D э в p/2 раз больше гр.
Определим корреляционную функцию сигнала на выходе RC -цепи при воздействии на ее вход белого шума.
Так как выходная спектральная плотность мощности уже определена, то можно вычислить искомую функцию обратным преобразованием Фурье. Но в рассматриваемом случае проще анализ выполнить во временной области, то есть By () = Bx () Bh (), но так как Bx () = W0 d(), то By () = W 0 Bh () (учитывая фильтрующее свойство дельта-функции).
Таким образом, при воздействии на вход цепи белого шума, корреляционная функция выходного сигнала совпадает с точностью до постоянного множителя с корреляционной функцией импульсной характеристики рассматриваемой цепи. Так как
h (t) = 1/(RC) exp[- t /(RC)], t ³ 0, то
Bh () = h(t)h (t - ) dt = 1/(2 RC)exp[-| |/(RC)], -¥ < < ¥.
На рис. 5 представлены корреляционные функции (рис. 5а) и спектральные плотности мощности (рис. 5б) для двух значений постоянной времени заданной цепи (RC)1 < (RC)2. Дисперсия выходного СП y 2 = By (0) = = G 0/(2 RC).
Площадь под кривой By () равна значению спектральной плотности мощности при = 0, есть G 0. Из сравнения графиков на рис. 5 следует, что с уменьшением полосы пропускания цепи начальное (максимальное) значение корреляционной функции By (0) уменьшается, что связано с уменьшением мощности выходного сигнала, и корреляционная функция изменяется медленнее с увеличением RC заданной цепи.
Нетрудно рассчитать интервал корреляции выходного СП
= .
Откуда следует, что интервал корреляции выходного СП равен постоянной времени цепи.
Рис. 5
ПРИМЕР 2 анализа прохождения белого шума через колебательный контур (рис. 6). Чтобы придать этой задаче физический смысл, сводим задачу, как и предыдущую, к аппроксимации входного сигнала белым шумом.
Рис. 6
Чтобы использовать такой прием, входной сигнал должен иметь спектральную плотность мощности, неизменную в пределах практически значимых значений ординат АЧХ цепи. Тогда Gx () можно считать равной G 0, а входной СП – белым шумом (рис. 7).
Передаточная функция такой цепи K (j )= K р/[1+ j 2( - р)/( р Q э)]; 0 < < ¥, где K р - коэффициент передачи цепи при резонансной частоте р, то есть K р = R эр/(R эр + R); Q э = Q /(1 + R эр/ R) - добротность шунтированного нагрузкой R колебательного контура, его постоянная времени к = 2 Q э/ р = 2/(D )0,7, то есть обратная половине полосы пропускания контура на уровне 0,707. Квадрат модуля передаточной функции K 2() = K р2/[1 + ( - р)2 к2]. Найдем дисперсию процесса на выходе цепи
y 2 = G 0 K р2/(p к) (p/2 + arctg2 Q э)» G 0 K р2/(2 к) при Q э >> 1.
Рис. 7
Оценим энергетическую полосу пропускания колебательного контура (рис. 6) D э = (G 0 K р2)-1 Gy () d » p/ к. Сравним с полосой пропускания по уровню 0,707 (-3 дБ). Так как к = 2 Q э/ р, то D э = p/2 (D )0,7.
Вычислим корреляционную функцию выходного процесса (рис. 8):
By () = G 0 K р2/(2 к) exp(-| |/ к) cos р ; -¥ < < ¥.
Рис. 8
Если рассматривать анализ контуров с разными добротностями, то можно увидеть различия в реализациях выходных процессов: рис. 9 при добротности Q 1 и рис. 10 при добротности Q 2.
Рис. 9
Сравнительный анализ показывает, что увеличение добротности приводит к снижению полосы пропускания контура, а значит, к снижению средней скорости изменения огибающей во времени (можно сравнить с влиянием на огибающую АМК снижения частоты модулирующего колебания). белый шум сигнал линейный преобразование
|
|