Расчет плотности вероятности стационарного случайного сигнала на выходе линейной цепи

Если для многих электрических цепей в установившемся режиме просто рассчитать энергетический спектр и корреляционную функцию, то задача расчета плотности вероятности в произвольном случае не имеет общего решения. Расчет плотности вероятности на выходе такой цепи является сложной задачей, не имеющей аналитического решения. Трудности анализа обусловлены тем, что мгновенные значения сигнала на выходе линейной цепи зависят не только от мгновенных значений входного сигнала в данный момент времени, но и от значений сигнала в предыдущие моменты (поскольку цепь обладает инерционностью, вызванной наличием катушек индуктивности и конденсаторов в цепи). Однако имеет место единственный случай, когда законы плотности вероятности на входе и выходе цепи совпадают. Это случай, когда входной сигнал имеет нормальный закон распределения. Основным свойством нормального закона является то, что при прохождении сигнала с нормальной плотностью вероятности сам вид закона не изменяется, а меняются лишь его параметры, то есть математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Здесь можно выявить аналогию с гармоническим колебанием в линейной цепи.

Прохождение нормального стационарного СП через линейную электрическую цепь. Задан входной СП X(t), у которого плотность вероятности в каждый момент времени f (x) = ( _x ² )^-¹ exp [- x ²/(2 _x ²)], -¥< x <¥, математическое ожидание считаем равным нулю. Поэтому средний квадрат такого СП равен дисперсии. Корреляционная функция B_x () и, следовательно, G_x () известны. Вычислить плотность вероятности сигнала на выходе цепи, заданной или импульсной характеристикой h (t), или передаточной функцией K (j ). Учитывая, что при прохождении случайного сигнала через линейную цепь нормальный закон распределения не изменяется, можно записать: f (y) = ( _y ² )^-¹ exp [- y ²/(2 _y ²)], т.е. сама форма закона известна. Необходимо определить дисперсию _y ², а она связана с мощностью процесса: B_y (0) = s _y ² = (2p)^-¹ G_y () d . Чтобы найти либо B_y (), либо G_y (), требуется знать B_x () или G_x ().