********
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=> .
Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25)):
, т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
(28), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´), => c = (30´), (29´)
(28´), => b = 1 (28´), (24´), где
- взаимно простые нечетные целые числа.
Случай 3
(12)
(13′)
(14)
(15′),
которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
- => .
Выразим из (31) и (16) :
|
|
=> (32)
=> (33).
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(34), (35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .
Из (15´) с учетом (20) выразим :
, т.е. (24´).
Т.о., , ,
где , т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
,т.к. из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.
Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´), получим => (29´´).
Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с 2 (из (25´)):
, т.е. (30´´).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:
(30´´), ,
(28), (24´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), => (30´´´), (29´´´), (28´), => b = (28´), (24),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
|
|
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:
= С
= В
= N
= К.
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (12) 2. (12´) (30´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29) (14´) (29´)
(15) (24) (15´) (24´)
3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29´´) (14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
Рассмотрим еще 4 случая.
5. с2 = С 6. с2 = - С 7. c2 = C 8. c2 = - C
b 2 = - B b 2 = B b2 = - B b2 = B
= - N = N = - N = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5.
(12),
(13´),
(14´),
(15), которые также являются решениями уравнения
(11)
Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):
(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b (32), (24)
(31) => с = (31), (29´),
где взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.
(31´), (29),
(32´), (24´), где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
(12),
(13´),
(14´),
(15´), которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):
(40), (38´´´),
(41´´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с = (31), (29´´´),
(32´) => b (32´´), (24´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´), (31), (29´´´) и (24´), т.е.
(31´), (29´´),
, (24), где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас не интересует, т.к. с не является целым числом.
********
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения 2 и его результат, полностью совпадают с исследованием решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве Утверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот, например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия 1(Утверждение 1, Часть 2 ):
1. (16) 2. (16´) (39´)
(17´) (37) (17) (37´)
(18) (18´) (38´)
(19) (33) (19´) (33´)
3. (16) (39´´) 4. (16´) (39´´´)
(17´) (37) (17) (37´)
(18) (38´´) (18´) (38´´´)
(19´) (33´) (19) (33).
А вот результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть 2 ):
1. (12) 2. (12´) (30´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29) (14´) (29´)
(15) (24) (15´) (24´)
3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29´´) (14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
Наблюдается полное совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения (11)
|
|
с 2 и b 2 в нижних 4-х случаях). То же самое совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять, что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо , либо , либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут являться решениями уравнения (1) (1), где - четное натуральное число, т.е. либо , либо .
*******
Но в теории чисел хорошо известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М.- Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения ( где , q=2 q ) - показатели четные при ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в уравнении целочисленные его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:
| | > 2, | | > 2, | c | > 2 => | a | > 1, | b | > 1, | c | > 1,
т.е. в уравнении a2+ b4 = c4 b и c => в уравнении (1) при - четном числе b и c ,
т.е. с лучаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследования уравнения (1) мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) , где ≥2 - четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.