Этот случай нас не интересует

********

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26), получим => .

Теперь, с учетом (29), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

(28), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.

(30´), => c = (30´), (29´)

(28´), => b = 1 (28´), (24´), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Случай 3.

(12)

(13′)

(14)

(15′), которые также являются решениями уравнения

(11).

Тогда сумма имеет вид:

Учитывая (10) и (15), можно получить разность :

- => .

Выразим из (31) и (16) :

=> (32)

=> (33)

По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

(34), (35), а их сумма .

Т.к. из (4) c²+ b²= 2 β, то и .

Из (15´) с учетом (20) выразим :

, т.е. (24´).

Т.о. , , где , т.е.

выражения которых, с учетом (24´), полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями

Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем.)

Теперь, учитывая (23), получим значение для b²:

,т.к. из (20) получается

Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо. Этот случай нас не интересует.

*******

Тем не менее продолжим, т.к. результат, который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.

Учитывая (26´), получим => (29´´).

Теперь, с учетом (29´´), можно получить окончательное выражение для с ² (из (25´)):

, т.е. (30´´).

Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие решения:

(30´´), ,

(28), (24´),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

***********

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.

(30´´´), => (30´´´), (29´´´), (28´), => b = (28´), (24), где

- взаимно простые нечетные целые числа.

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (11).

Обозначим снова следующие выражения буквами С, В, N, К:

= С

= В

= N

= К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (12) 2. (12´) (30´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29) (14´) (29´)

(15) (24) (15´) (24´)

3. (12) (30´´) 4. (12´) (30´´´)

(13´) (28) (13) (28´)

(14) (29´´) (14´) (29´´´)

(15´) (24´) (15) (24).

Рассмотрим еще 4 случая.

5. с²= С 6. с²= - С 7. c²= C 8. c²= - C

b ²= - B b ²= B b²= - B b²= B

= - N = N = - N = N

*******

Итак, рассмотрим случай 5.

Случай 5.

(12),

(13´),

(14´),

(15), которые также являются решениями уравнения

(11).

Но данный случай аналогичен случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где полученыследующие решения уравнения (15):

(41), , где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.

Следовательно, в данном рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:

(32) => b (32), (24)

(31) => с = (31), (29´),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*******

Случай 6

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31), (29´) и (24), т.е.

(31´), (29),