2020-01-14
163
Приведем пример выполнения задания для многочленов Ньютона, построенных ранее (при выполнении п.2 лабораторной работы) по первой формуле. Упростим выражения и вычислим значения во всех узлах интерполяции:
Многочлен Ньютона 1 степени
    
Многочлен Ньютона 2 степени
    
Многочлен Ньютона 3 степени
    
Многочлен Ньютона 4 степени
    
|
Занесем в таблицу 2-4 значения построенных многочленов в узлах интерполяции и сравним с заданными значениями исходной функции:
| xi | 0.3 | 0.5 | 0.7 | 0.9 | 1.1 |
| P1(xi) | -0.88 | -0.12 | 0.64 | 1.4 | 2.16 |
| P2(xi) | -0.88 | -0.12 | 0.7 | 1.58 | 2.52 |
| P3(xi) | -0.88 | -0.12 | 0.7 | 0.52 | -1.72 |
| P4(xi) | -0.88 | -0.12 | 0.7 | 0.52 | 0.44 |
| Исходная функция y=f(xi) | -0.88 | -0.12 | 0.7 | 0.52 | 0.44 |
Лабораторная работа по теме
«Численное интегрирование»
Вопросы, подлежащие изучению
1. Постановка задачи численного интегрирования.
2. Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона.
3. Оценка погрешности численного интегрирования. Правило Рунге.
4. Графическая иллюстрация методов прямоугольников, трапеций и Симпсона..
|
|
|
5. Сравнение методов численного интегрирования.
6. Вычисление интегралов средствами математических пакетов
Задание
1. Выбрать индивидуальное задание из табл.3-1 для численного интегрирования:
· f(x) – подынтегральную функцию;
· a, b – пределы интегрирования;
· метод интегрирования для выполнения п. 2 – значение в столбце t;
· метод интегрирования для выполнения п. 3 – значение в столбце m;
· начальный шаг интегрирования h0.
Значения в столбцах t и m означают: 1 –интегрирование методом средних прямоугольников, 2 – методом трапеций, 3 – методом Симпсона.
2. Вычислить «вручную» интеграл 
с шагом 
и /2 по выбранному методу численного интегрирования (значение в столбце t табл.3-1, или по указанному преподавателем) без использования пакета MathCad (или используя пакет только как калькулятор) и оценить погрешность интегрирования по правилу Рунге.
3. Вычислить «вручную» интеграл с шагом и /2 по выбранному методу численного интегрирования (значение в столбце m из табл.3-1, или по указанному преподавателем) используя пакет MathCad для записи формул соответствующих методов (вычисления сумм (∑) значений функции и т.п.). Оценить погрешность по правилу Рунге.
4. Вычислить интеграл 
с помощью встроенных функций математического пакета MathCad
Варианты задания
Таблица 3-1
| № | f(x) | a | b | t | m | 
|
| 1 | 8 e-x sin(-2x) | 2 | 3 | 1 | 3 | 0.25 |
| 2 | e-x sin(2x) | 0 | 2 | 2 | 1 | 0.5 |
| 3 | x3/2 – 2 x sin(x) | 3 | 4 | 3 | 2 | 0.25 |
| 4 | e-xcos(-2x) | 2 | 4 | 1 | 3 | 0.5 |
| 5 | cos(2x) + 2 sin(x) | 1 | 3 | 2 | 1 | 0.5 |
| 6 | 8 sin(2x) – x | 0.2 | 1.2 | 3 | 2 | 0.25 |
| 7 | 5 cos(-2x) e-x | -0.5 | 0.5 | 2 | 3 | 0.25 |
| 8 | x sin(x + 1) – cos(x – 5) | 1 | 2 | 1 | 2 | 0.25 |
| 9 | 0,25 x3 + cos(x/4) | 1 | 3 | 1 | 3 | 0.5 |
| 10 | sin(2x) – 2 sin(x) | 3 | 5 | 1 | 3 | 0.5 |
| 11 | sin(ex) – e-x +1 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0.25 |
| 12 | 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x) | 1 | 2 | 1 | 2 | 0.25 |
| 13 | 5 e-x + 4 x + x3/3 | -1 | 1 | 1 | 2 | 0.5 |
| 14 | -2 sin(4x) ln(-x) + 5 | -2.5 | -1.5 | 1 | 3 | 0.25 |
| 15 | sin(x – 1) – x cos(x + 3) | -4 | -2 | 3 | 1 | 0.5 |
| 16 | 4 sin (x) – x1/2 | 1 | 2 | 2 | 3 | 0.25 |
| 17 | 5 sin3(x) + cos3(x) | 1 | 2 | 2 | 1 | 0.25 |
| 18 | cos(2x + 1) ln (2 / x) + 3 | 1 | 3 | 3 | 2 | 0.5 |
| 19 | 3 cos(x2) / ln(x + 5) | -1 | 1 | 1 | 3 | 0.5 |
| 20 | sin(x2) + 1 / (2 – x) | -1.5 | 0.5 | 2 | 1 | 0.5 |
| 21 | x sin(x) + cos(x) + 5 | 0 | 2 | 1 | 2 | 0.5 |
| 22 | – cos(x) – cos(2x) – x + 5 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0.5 |
| 23 | 1 + sin(4x) / ln(x) | 1.5 | 2.5 | 1 | 3 | 0.25 |
| 24 | (1 + x2)1/2 + e-x | -1 | 2 | 2 | 1 | 0.75 |
| 25 | sin(x + 1) e2 / x | 1 | 2 | 3 | 2 | 0.25 |
| 26 | 2 (1 + x) e-x – 2 cos(x) | 1 | 4 | 2 | 3 | 0.75 |
| 27 | – 8 sin(– x3) e-x | 0.4 | 1.4 | 1 | 3 | 0.25 |
| 28 | – 10 sin(x3) cos(– x) | -1.4 | -0.4 | 2 | 1 | 0.25 |
| 29 | x2cos(x + 3) – 4 | 3 | 4 | 3 | 1 | 0.25 |
| 30 | – cos(x – 5) e2x / 3 | 1 | 3 | 1 | 3 | 0.5 |
| 31 | x - cos(x/3) | 2 | 3 | 1 | 2 | 0,25 |
| 32 | x + ln(4x) – 1 | 0 | 2 | 2 | 3 | 0,5 |
| 33 | ex- 4e-x – 1 | 3 | 4 | 3 | 1 | 0,25 |
| 34 | x ex– 2 | 2 | 4 | 1 | 2 | 0,5 |
| 35 | 4(x2+1) ln(x) – 1 | 1 | 3 | 2 | 3 | 0,5 |
| 36 | 2 – x - sin(x/4) | 0,2 | 1,2 | 3 | 2 | 0,25 |
| 37 | x2 + ln(-x) – 2 | -0,5 | 0,5 | 2 | 3 | 0,25 |
| 38 | сos(x) - (x+2) ½ + 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 0,25 |
| 39 | 4(1+x1/2) ln(x) – 1 | 1,2 | 3,2 | 3 | 1 | 0,5 |
| 40 | 5ln(x) - x1/2 | 3,5 | 5 | 1 | 3 | 0,5 |
| 41 | ex+ x3 –2 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0,25 |
| 42 | 3sin(x1/2) + x – 3 | 1 | 2 | 1 | 2 | 0,25 |
| 43 | 0,1 x2 – x ln(x) | -1 | 1 | 1 | 3 | 0,5 |
| 44 | cos(1 + 0,2x2) – x | -2,5 | -1,5 | 1 | 1 | 0,25 |
| 45 | 3 x – 4 ln(x) – 5 | -4 | -2 | 3 | 2 | 0,5 |
Содержание отчета
|
|
|
1. Индивидуальное задание.
2. Результаты «ручного расчета» интеграла с шагом 
и 
(
и 
) без использования пакета MathCad (или используя пакет только как калькулятор) и значения погрешностей по правилу Рунге.
3. Результаты «ручного расчета» интеграла с шагом и (
и 
) при использовании пакета MathCad для записи формул соответствующих методов (вычисления сумм (∑) значений функции и т.п.) и значения погрешностей по правилу Рунге.
4. Результаты решения, полученные с помощью встроенных функций математического пакета.
