Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

 

a³+b³+c³ a²b+b²c+c²a.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

a³+b³+c³= , a²b+b²c+c²a =

 

А так как последовательности (a², b², c²), (a, b, c) одномонотонны, то

 

.

 

А это значит, что a³+b³+c³ a²b+b²c+c²a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

 

.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

 

и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то

 

,

.

 

Складывая эти неравенства, мы получаем

 

.

 

Отделим дроби с одинаковым знаменателем в правой части

 

.

 

Вычислив, получаем

 

.

А это значит, что

Что и требовалось доказать

Случай с двумя последовательностями из n переменных

 

Рассмотрим одномонотонные последовательность (а₁, а₂, …а_n) и (b ₁, b₂,…b_n)

Если =a₁b₁, и =а₁b₁+а₂b₂, то =а₁b₁+а₂b₂…a_nb_n

 

Теорема 3. Пусть ( а₁ а₂ … а_n ), ( b₁ b_{2 …} b_n ) – одномонотонные последовательности и ()перестановка чисел b₁ b_{2 …} b_n. Тогда

 .

Доказательство.

Действительно, если последовательность () отличается от (b₁ b_{2 …} b_n) то найдется пара чисел k, l (1 k<l n) такая, что последовательности (a_k, a_l) и (b_k, b_l) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и  и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

 

,

так как .

 

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана.

Следствие.

Для любого n N верно

.

 

Доказательство.

 

 

Но последовательности (а₁ а₂ … а_n) и () не являются одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.

Однако эти последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются последовательности

 (а₁ а₂ … а_n) и ()

 

Поэтому