2020-01-14
144
Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей
Позолотина Наталья Андреевна, 9б класс,
МОУ СОШ №4 Центрального района.
224-49-85
Руководитель: Тропина Наталья Валерьяновна,
кандидат педагогических наук,
доцент кафедры математического анализа НГПУ.
(Работа выполнена в МОУ СОШ №4)
Новосибирск 2008
Содержание
Введение
1. Основные понятия и определения
2. Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных
2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных
2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных
Упражнения
2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных
Упражнения
2.4 Случай с двумя последовательностями из n переменных
Упражнения
2.5 Случай с n последовательностями из n переменных
Упражнения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В школьном курсе математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:
|
|
|
- сведение к очевидному с помощью равносильных преобразований;
- графически (исследование свойств и построение графиков функции)
Не существует универсального способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ доказательства неравенств представляет особый интерес.
В данном работе мы рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью одномонотонных последовательностей.
Работа состоит из 2-х параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и упражнениями.
Основные понятия и определения
В данном параграфе мы рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для дальнейшей работы.
Определение 1. Множество – это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему для них признаку.
Определение 2. Натуральные числа N – это целые положительные числа 1, 2, 3, 4, 5,…
Определение 3. Целые числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:
Z = N 
-N {0}
Определение 4. Рациональные числа Q – это числа представимые обычными дробями в виде 
, где m є Z, n є N (или конечными, или бесконечными периодичными дробными).
Определение 5. Иррациональные числа I – это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и непредставимые в виде 
.
Определение 6. Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.
|
|
|
R=Q I
Определения 7. Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина больше или меньше другой.
Например: 
, 
Известно, что все неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:
а) a<b, b<c 
a<c
b) a 
b, b a 
a=b
c) a b 
a+c b+c
d) a 0 
-a 
0
Определения 8. Доказать неравенство – установить истинность неравенства.
Неравенства бывают разными: с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через одномонотонные последовательности.
Определение 9. Следствие – из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.
Обозначение: f1(x)>f2(x) ц1(x)>ц2(x) – второе неравенство – следствие первого.
Определение 10. Два неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны, совпадают.
Обозначаются равносильные неравенства: f1(x)>f2(x) 
ц1(x)>ц2(x)
Эти определения аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений, можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство в равносильное ему. Такими действиями могут быть:
– прибавление к обеим частям неравенства одного слагаемого;
– перенос слагаемого с противоположным знаком из одной части неравенства в другую;
– умножение обеих частей на положительное число или положительную функцию и т.д.
Следует, однако, производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.
Определение 11. Метода математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств от самого легкого к самому сложному.
Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое от n є N
1) Проверяем правдивость Р(1)
2) Предполагаем, что P(k) истинно
3) Доказываем истинность Р(k+1)
4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.
Определение 12. Одномонотонные последовательности – это последовательности чисел вида ( а1 а2 … аn )( b1 b2 … bn ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1 а2 … аn находится над наибольшим числом из чисел b1 b2 … bn и второе по величине из чисел а1 а2 … аn над вторым по величине из чисел b1 b2 … bn и т.д., другими словами обе последовательности одновременно возрастающие или одновременно убывающие.
Определение 13. Произведение одномонотонных последовательностей (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …(d 1, d 2,…, d n) это число вида
= а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn
