Обоснование метода одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

 

Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

 

а₁*b₁ – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

 

= a₁b_1.

 

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

 

Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если = a₁b₁. то =а₁b₁+а₂b₂

Теорема 1. Пусть (а₁а₂₎ (b₁b₂) – одномонотонные последовательности. Тогда

Доказательство

Действительно,

 

 – =a₁b₁+a₂b₂-a₁b₂-a₂b₁ = (a₁-a₂) (b₁-b₂)

 

Так как последовательности (а₁а₂)(b₁b₂) одномонотонны, то числа a₁-a₂ и b₁-b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

 

(a₁-a₂) (b₁-b₂)  0.

 

Теорема доказана.

 

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

 

a³ +b³  a²b+b²a.

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

a³ +b³ = , a²b+b²a =

 

А так как последовательности (a², b²), (a, b) одномонотонны, то

 

А это значит, что a³ +b³  a²b+b²a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.

 

 

Значит a³ +b³  a²b+b²a.

 

Что и требовалось доказать.

 

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2.

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

 

а²+b².

 

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

 

а²+b² = , ,

 

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

 

.

 

Что и требовалось доказать.