В общем случае эта формула имеет вид

 

(x_i + x_j)² + b(x_i + x_j) + с - x_i∙ x_j = 0 (10)

 

Пример 11 Проверить формулу (10)

x3 - 20x2+ 113x - 154 = 0

где a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Здесь X₁ = 7, X₂ = 2, X₃ = 11.

→ (x₁ + x₂)² + b(x₁ + x₂) + с - x₁∙ x₂ = 0 → (7 + 2)² - 20(7 + 2) + 113 - 7∙ 2 = 0

→ (x₁ + x₃)² + b(x₁ + x₃) + с - x₁∙ x₃ = 0 → (7 + 11)² - 20(7 + 11) + 113 - 7∙ 11 = 0

→ (x₂ + x₃)² + b(x₂ + x₃) + с - x₂∙ x₃ = 0 → (2 + 11)² - 20(2 + 11) + 113 - 2∙ 11 = 0

Расчет подтверждает верность формулы (10).

 

Три действительных корня и два одинаковых

 

При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2mn) = 0.

Тогда из уравнения (2) следует 3x₁² + 2bx₁ +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.

Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x³ – 25x² + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.

Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3x₁² + 2bx₁ +с = 0 → 3x₁² - 50x₁ + 203 = 0 → x_1,2 =  ) → x₁ =  , x₂ = 7.

Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является

X₁ = X₂ = 7, X₃ = 11

Три действительных и одинаковых корня

В этом случае имеем для всех (2mn) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3x₁² + 2bx₁ +с = 0.

→ x_1,2 =  ). При равенстве трех корней имеем  = 0

→ x_1,2,3 = -  .

Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета

→ (x₁ + x₂ + x₃ ) = - b. При x = x₁ = x₂ = x₃ → 3 x = - b → x = -  .

 

Пример 12 Дано уравнение

x³ – 24x² + 183x – 448 = 0 → b= - 24, с = 183, d = - 448

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D₁ = -

-→D₁ = - [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = - [- 78732 + 46656 ]/27= 1188

-→ 1188= 4∙9∙33 = 4∙36∙

2. Пусть h² =

→   = [(g₁ - g₂)² - h² ]² ∙ h² → [(g₁ - g₂)² + h² ]² = 36 → [(g₁ - g₂)² - h² ] = ± 6

→ (g₁ - g₂)² = - 6 +  = → g₁ - g₂ = ±  .

Второе уравнение (x₁ + x₂ + x₃ ) = - b → (g₁ + g₂ + h + g₂ – h) = - b → g₁ + 2g₂ = 24

Таким образом, имеем два уравнения g₁ - g₂ = ± и g₁ = 24 - 2g₂.

→ 24 - 2g₂ - g₂ = ±   → g₂ =  =   → g₂ =   → g₁ = 24 - 2g₂ → g₁ = 24 – 17 → g₁ = 7

→ X₁ = 7, X₂ =  (17 +  ), X₃ =  (17 -  )

Задача решена!

Внимание! В данном примере имеет место множитель  в значениях X₂ и X₃. Этот случай обусловлен следующим

1. Разделим исходное уравнение x³ – 24x² + 183x – 448 = 0 на (x – 7)

→  = - x² + 17x – 64→ x³ – 24x² + 183x – 448= (x – 7)∙(x² - 17x + 64)=0.

Кубическое уравнение формула кардан

2. В уравнении x² - 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙  .

Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.

 

E- Mail: fgg-fil1@narod.ru