Скалярное произведение

Федеральное агентство по образованию

Московский государственный гуманитарный университет

 им. М.А. Шолохова

Егорьевский филиал

 

 

Кафедра экономики и управления.

 

Курсовая работа по математике

Тема:

 «Многомерная геометрия».

 

Студентки II курса Очного отделения

факультета информатики и математики

  группы 21

  Волковой Марии Вячеславовны

 

 

Работу проверила

Научный руководитель

        Бармакова Татьяна Владимировна

 

 

Егорьевск 2008

Оглавление:

Введение …………………………………………………………………3

Глава I. Пространства с квадратичной метрикой……….……………………..5

1.1. Скалярное произведение……………………………………………..5

1.2. Норма вектора…………………………………………………………8

1.3. Ортонормированные базисы……………………………………….11

1.4. Ортогональная проекция. Ортогонализация……………………...13

Глава II. Аффинные преобразования ……………………………………….20

2.1. Аффинные преобразования на плоскости…………………...….20

2.2. Однородные координаты точки…………………………………….23

2.3. Аффинные преобразования в пространстве………………………..32

2.4.   Формула обратного преобразования………………………………41

2.5. Основнаятеорема теории аффинных преобразований…………...42

Глава III. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах   …………………………………………………….43

3.1. Преобразование подобия……………………………………….......43

3.2. Преобразование родства……………………………………………45

3.2.1. Понятие преобразования родства……………………………45

3.2.2. Сжатие и его частные виды   ………………………………….47

Список литературы…………………………………………………...49

 

 

 

  Введение

В математике и в ее приложениях часто приходиться рассматривать некоторые множества объектов, для которых установлены так называемые линейные операции: сложение и умножение на число. Например, в механике рассматривают также сложение скоростей и умножение скорости на число; рассматривают сложение ускорений и умножение ускорения на число. Силы, скорости и ускорения различны по своей физической природе. Однако линейные операции, которые производятся над ними, единообразны с геометрической точки зрения. Рассмотрим, например, множество всех функций, непрерывных на числовой оси, или множество всех периодических функций с данным периодом, или множество всех алгебраических многочленов. В каждом из этих множеств мы можем естественным образом рассматривать линейные операции. Объекты, о которых мы сейчас говорим, не похожи на силы, скорости и ускорения или на геометрические векторы. Линейные операции над ними также не похожи на линейные операции над векторными величинами механики или над геометрическими векторами.

Линейное пространство не будет содержать каких-либо описаний элементов рассматриваемых множеств или производимых линейных операций, общие для всех частных случаев. Эти требования выражаются аксиомами линейного пространства. Следует заметить, что требования, которые выражены в аксиомах, весьма немногочисленны, и остается возможность добавлять к ним новые предположения. Поэтому в общем понятии линейного пространства возникает некоторая классификация, так что все-таки приходится иметь дело не с единым линейным пространством, а с различными классами линейных пространств, и теория, основанная на аксиомах линейного пространства, разветвляется.

Прежде всего, все линейные пространства разделяются на конечномерные и бесконечномерные. К числу конечномерных пространств принадлежит трехмерное пространство геометрических векторов. Это пространство содержит в себе бесконечно много двумерных и одномерных пространств, называемых подпространствами. Таким образом. Для одномерных, двумерных и трехмерных линейных пространств мы имеем геометрические модели, с которыми естественно связаны наши наглядные представления о векторах. При переходе к многомерным пространствам наглядность частично теряется, но теория этих пространств сохраняет геометрический характер. Вместе с тем линейные пространства называют также векторными пространствами. Геометричность терминологии и основных понятий линейной алгебры помогает ее контактам с геометрией.

 Мы имеем в виду здесь аналитическую геометрию, причем многомерную, т.е. многомерный аналог обычной (трехмерной) аналитической геометрии. Более того, линейная алгебра и аналитическая геометрия настолько тесно связаны, что между ними трудно провести четкую грань. И не будем к этому стремиться. Можно сказать, что предметом линейной алгебры является многомерная аналитическая геометрия.

 

 

Глава I. Пространства с квадратичной метрикой

Скалярное произведение

1. Пусть L – действительное линейное пространство. Введем

в пространстве L новую операцию – скалярное умножение векторов.

     Действие скалярного умножения ставит в соответствие каждой паре векторов x, y из L действительное число, которое обозначается (x, y) и называется скалярным произведением вектора x на вектор y.

По аналогии с элементарной аналитической геометрией потребуем соблюдения следующих свойств:

1) Коммутативность: (x, y) = (x, y).

2) Распределительность (дистрибутивность): (x ₁ + x ₂, y) = (x ₁, y) +

+ (x _2, y).

3) Однородность: (ax, y)=а (x, y) для любого действительного числа а.

4) Невыдержанность: если (x, y) = 0 при фиксированном x и любому y из L, то x = 0.

Здесь всюду x, y, x₁, x₂ – произвольные векторы пространства L.

2. Обратим внимание на то, что в элементарной аналитической геометрии перечисленные выше свойства скалярного произведения доказываются как теоремы, а здесь мы рассматриваем эти свойства как аксиомы, включая их в определение скалярного произведения.

3. Второе и третье свойства вместе означают линейность скалярного произведения по первому аргументу.

Итак скалярное произведение(x, y) представляют собой билинейную форму, симметричную согласно первому свойству и невырожденную вследствие четвертого свойства. Действительно, четвертое свойство означает, что нулевое подпространство билинейной формы (x, y) нульмерно, откуда и вытекает ее невырожденность.

4. Очевидно, справедливо и обратное утверждение:

Каждую невырожденную симметричную билинейную форму g(x, y), заданную в пространстве L, можно принять в качестве скалярного произведения, положив

                        (x, y) = g(x, y)

Для любых x, y  L.

  Замечание. Разумеется скалярное произведение зависит от выбора формы g(x, y). Если в качестве скалярного произведения выбирать разные формы, то для данной пары векторов x, y пространства L скалярное произведение будет получать, разные численные значения.

5. Пусть в пространстве L введено скалярное произведение (x, y) =

=g(x, y).

Предполагая пространство n – мерным, возьмем в нем произвольный базис e₁,..., e_n. Если   x = e _I, y = e _{k ,} то скалярное произведение запишется в координатах так:

                         (x, y) = g(x, y) = xⁱ y ^k.                                               (1)

где g _{I k} –коэффициенты билинейной формы g(x, y) в данном базисе e₁ …, e_n. Они являются значениями этой формы на базисных векторах, то есть их скалярным произведением.

Таким образом,

                                         (e _I , e _k) = g _{I k}.                                                    (2)   

Причем g _{I k} = g _{k i}. Равенства (2) составляют таблицу умножения базисных векторов.

Если правые части таблицы (2) даны, то тем самым однозначно определено скалярное произведение любой пары векторов x, у согласно равенству (1).

6. Определение 1. Векторы x, у называются ортогональными, если

(x, у) = 0.

В координатах условие ортогональности векторов x, у имеет вид

                                        _{I k} x ⁱ x ^k = 0.

Определение 2. Вектор x  ортогонален подпространству , если

  (x, у) = 0 для любого у .

       Заметим, что если  имеет размерность k, то для ортогональности вектора x подпространству  достаточно, чтобы  x был ортогонален к каким – нибудь независимым векторам в числе k, лежащим в . В самом деле, если независимые вектора а_{1 ,…,} а_k лежат в   и если (x, a₁) = 0,…, (x, a _k) = 0, то для любого  y  L имеем y = a₁ + … + a _k, откуда

               (x, y) = (x, a₁) + … + (x, a _k) = 0.

Определение 3. Подпространства ,  называются ортогональными, если (x, у) = 0 для любого x  и любого у .

Определение 4. Подпространство  называется ортогональным дополнением подпространства  в пространстве L, если   и   ортогональны и их прямая сумма совпадает с L.

Замечание. Подчеркнем, что ортогональность векторов и ортогональность подпространств существенно зависит от того, какая именно билинейная форма g(x, y) взята в качестве скалярного произведения (x, y) в пространстве L.  

 

Норма вектора

1. Пусть в линейном пространстве L задано скалярное произведение

Определение. Нормой вектора x называется число

                                 = +                                                      (1)

Норма является обобщением понятия модуля или длины вектора, известного из элементарной геометрии.

Скалярное произведение (x, x) является действительным числом, но оно может не быть положительным, так что норма вектора может оказаться мнимой. Условимся считать, что радикал в формуле (1) может быть либо неотрицательным действительным числом, либо мнимым числом с положительным множителем при l (l = + ).

2. Из определения нормы следует, что

                           = .

для любого x L и любого числа a.

В частности,

                         = ,  = 0.                                        (2)

Нулевые векторы, норма которых равна нулю, называются изотропными. Изотропные векторы существуют тогда и только тогда, когда квадратичная форма (x, x) не является знакоопределенной.

3. Квадратичная форма = (x, x) называется метрической формой рассматриваемого пространства.

Она определяется в билинейной форме (x, y) и в свою очередь определяет ее как свою полярную форму. Таким образом, задание скалярного произведения и задание квадратичной формы для измерения норм векторов равносильны. Поэтому пространства с заданным скалярным произведением называют также пространствами с квадратичной метрикой.

Если пространство n – мерно, то метрическая форма в координатах имеет вид  

                   = (x, x) = _{i k} x ⁱ  x ^k .

4. Теорема. Если метрическая форма является положительно отдельной, то для любых двух векторов x, y  L соблюдается неравенство

                            + .                                                (3)

Доказательство. Используем неравенство Коши – Буняковского

                                       (x, x)²  (x, x) ∙(y, y).                                           (4)

Учитывая (4), находим, что

отсюда следует (3).

Замечание. Из (3) следует, что если метрическая форма положительно определена, то

                             .

     5. Рассмотрим аффинное пространство F, к которому соответствует линейное пространство L с квадратичной метрикой.

     Для каждой пары точек A, B из F  определим расстояние  (A, B), пологая его равным норме вектора  

                                         (A, B) =                                                  (5)                     

Имеем

                             (A, B) =   (B, A),   (A, A)= 0.                               (6)

Формула (6) следует из (2) и (5).

      6. В случае положительно определенной метрической формы (x, x) расстояние между точками равно нулю только тогда, когда точки совпадают, и, кроме того, для любых трех точек A, B, C из F соблюдается неравенствотреугольника

                           (A, C)   (A, B),   (B, C).                                       (7)

 

Неравенство (7) следует из неравенства (3) и формулы (5).

     7. Если между точками аффинного пространства F определено расстояние по формуле (5), то говорят, что в аффинном пространстве F задана квадратичная метрика. В аффинных координатах квадрат расстояния имеет выражение

                       ² (A, B) = _{i k} (x ⁱ₂ – x ⁱ₁)(x ^k₂ – x ^k₁),                              (8)      

где x ⁱ₁,… x ⁿ₁ – аффинные координаты точки A, x ⁱ₂,…, x ⁿ₂ – аффинные координаты точки B.

Правую часть (8), квадратичную относительно разностей координат произвольных точек A и B, называют метрической формой пространства F.