2020-01-14
569
Рассмотрим трехмерный случай (3D) (3-dimension) и сразу введем однородные координаты.
Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (x, y, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел
(x y z 1)
или, более общо, на четверку
(hx hy hz), h = 0.
Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.
Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах.
Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).
А. Матрицы вращения в пространстве.
Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол j:
|
|
|
1 0 0 0
0
|
0 -sin j cos j 0
0 0 0 1
Матрица вращения вокруг оси ординат на угол y:
cos y 0 -sin y 0
|
sin y 0 cos y 0
0 0 0 1
Матрица вращения вокруг оси аппликат на угол c:
 |
cos c sin c 0 0
-sin
|
0 0 1 0
0 0 0 1
Полезно обратить внимание на место знака «-» в каждой из трех приведенных матриц.
Б. Матрица растяжения-сжатия:
 |
a 0 0 0
|
0 0 g 0
0 0 0 1
где
a > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс;
b > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат;
g > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.
В. Матрицы отражения
Матрица отражения относительно плоскости ху:
1 0 0 0
|
|
|
|
0 0 -1 0
0 0 0 1
Матрица отражения относительно плоскости yz:
 |
-1 0 0 0
|
0 0 1 0
0 0 0 1
Матрица отражения относительно плоскости zx:
 |
1 0 0 0
|
0 0 1 0
0 0 0 1
Г. Матрица переноса (здесь (l, m, n) - вектор переноса):
 |
1 0 0 0
|
0 0 1 0
l m n 1
Как и в двумерном случае, все выписанные матрицы невырождены.
Приведем важный пример построения матрицы сложного преобразования по его геометрическому описанию.
Пример 3. Построить матрицу вращения на угол j вокруг прямой L, проходящей через точку А (a, b, c) и имеющую направляющий вектор (l, m, n). Можно считать, что направляющий вектор прямой является единичным:
l2 + m2 + n2 = 1
На рис. 13 схематично показано, матрицу какого преобразования требуется найти.
|
|
L
 | |||
| |||
X
Решение сформулированной задачи разбивается на несколько шагов. Опишем последовательно каждый из них.
1-й шаг. Перенос на вектор –А (-a, -b, -c) при помощи матрицы
1 0 0 0
|
| |
0 0 1 0
-a -b -c 1
В результате этого переноса мы добиваемся того, чтобы прямая L проходила через начало координат.
2-й шаг. Совмещение оси аппликат прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат.
1-й поворот – вокруг оси абсцисс на угол y (подлежащий определению). Чтобы найти этот угол, рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной прямой L на плоскость X = 0 (рис. 14).
|
|
L’ L q
Y
Y
0
| ||||
 | ||||
Направляющий вектор прямой L’ определяется просто – он равен
(0, m, n).
Отсюда сразу же вытекает, что
(4.10)
где 
(4.11)
Соответствующая матрица вращения имеет следующий вид:
1 0 0 0
0 n/d m/d 0
|
0 0 0 1
Под действием преобразования, описываемого этой матрицей, координаты вектора (l, m, n) изменятся. Подсчитав их, в результате получим
|
|
|
(l, m, n, 1)[ Rx ] = (l, 0, d, 1). (4.13)
2-й поворот вокруг оси оси ординат на угол q, определяемый соотношениями
сos q = l, sin q = -d (4.14)
соответствующая матрица вращения записывается в следующем виде:
l 0 d 0
|
|
-d 0 l 0
0 0 0 1
3-й шаг. Вращение вокруг прямой L на заданный угол j.
Так как теперь прямая L совпадает с осью аппликат, то соответствующая матрица имеет следующий вид:
|
|
0 0 1 0
0 0 0 1
4-й шаг. Поворот вокруг оси ординат на угол -q.
5-й шаг. Поворот вокруг оси абсцисс на угол -y.
Однако вращение в пространстве некоммутативно. Поэтому порядок, в котором проводятся вращения, является весьма существенным.
6-й шаг. Перенос на вектор А (a, b, c).
Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим следующую матрицу:
[ T ][ Rx ][ Ry ][ Rz ][ Ry ]-1[ Rx ]-1 [ T ]-1.
Выпишем окончательный результат, считая для простоты, что ось вращения ходит через начальную точку.
l 2 + cos j(1 – l 2) l (1 – cos j)m + n sin j l (1 – cos j)n – m sin j 0
l (1 – cos j)m – n sin j m2 + cos j(1 – m2) m(1 – cos j)n + l sin j 0
l (1 – cos j)n + m sin j m(1 – cos j)n – l sin j n2 + cos j(1 - n2) 0
0 0 0 1
Рассматривая примеры подобного рода, мы будем получать в результате невырожденные матрицы вида
a1 a2 a3 0
|
|
g1 g2 g3 0
l m n 1
При помощи таких матриц можно преобразовать любые плоские и пространственные фигуры.
Пример 4. Требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник.
|
|
|
Для этого сначала по геометрическому описанию отображения находим его матрицу [ A ]. Замечая далее, что произвольный выпуклый многогранник однозначно задается набором всех своих вершин
Vi (xi, yi, zi), i = 1,…,n,
Строим матрицу
x1 y1 z1 1
V = .......... (4.18)
xn yn zn 1
Подвергая этот набор преобразованию, описываемому найденной невырожденной матрицей четвертого порядка, [ V ][ A ], мы получаем набор вершин нового выпуклого многогранника – образа исходного (рис. 15).
Z
 | |||||
 |  | ||||
0
Y
X
|
