2020-01-14
148
1. В пространстве с квадратичной метрикой базисы не равноправны. Среди них есть такие, которые наиболее удобны с точки зрения данной метрики.
Именно, базис e1 ,…, en можно выбрать так, чтобы метрическая форма g(x, x) имела в нем нормальный вид
= g (x, x) = (x1)2 + …+ (x k)2 - (x k +1) 2 - … - (x n)2.
Тогда скалярное произведение двух векторов представится так:
x y = x 1y1 + … + x k y k – x k + 1 y k + 1 - … - x n y n.
Ясно, что скалярное произведение (e I, e j) = 0, если i 
j, то есть при i j,
то есть при i 
j базисные векторы ортогональны. При этом 
= 1, если
i = 1,…, k; = - 1, если i= k + 1,…, n. Тем самым векторы базиса нормированы так, что квадраты их норм по модулю равны единице. Векторы e i называются единичными, если i 
k, мнимоединичным, если i 
k + 1. Вообще вектор a называется единичным, если 
мнимоединичным, если 
.
Определение. Базис e1,…, en, удовлетворяющий перечисленным в этом пункте условиям, называется ортонормированным.
Теорема 1. В n – мерном линейном пространстве с заданной квадратичной метрикой всякий набор из попарно ортогональных единичных или мнимоединичных векторов общим числом n является базисом, в котором метрическая форма имеет нормальный вид.
Доказательство. Пусть e1,…, en – указанный набор векторов. Убедимся, что они линейно независимы. Рассмотрим соотношение
1 e1 + 
Отсюда, умножая скалярно на e1, получим
Но по условию (e1, e1) = 
1, (e j, e1) = 0 (j 1); кроме того, (
, e1) = 0. Следовательно, 
= 0. Аналогично докажем, что векторы e1,…, en независимы и, значит, действительно составляют базис.
Так как g(e i, e i) = (e i, e i) = 1 g(e i, e i)= (e i, e i)=0, то форма g(e i, e i) в базисе e1,…, en имеет нормальный вид.
2. Наряду с доказанной выше теоремой 1 мы отметим следующее утверждение.
В n – мерном линейном пространстве всегда можно задать, причем единственным способом, такую квадратичную метрику, что произвольный заранее данный базис e1,…, e k, e k + 1,…,en станет ортонормированным, его векторы e1,…, e k станут единичными, а векторы e k + 1,…,en – мнимо- единичными; здесь k – также любое заранее данное целое число от 0 до n.
Доказательство. Искомая метрика однозначно определяется заданием метрической формы g(x, x) которая в базисе e1,…, e k, e k + 1,…, en имеет вид
g(x, x) = (x1)2 +…+(x k)2 – (x k+ 1)2 - …- (x n)2.
3. Согласно закону инерции квадратичных форм число единичных и число мнимо-единичных векторов не зависит от выбора базиса, ортонормированного в данной квадратичной метрике.
Определение. Числи k единичных векторов ортонормированного базиса называется положительным индексом пространства с данной квадратичной метрикой.
Если k = n или если k = 0, то пространство называется евклидовым.
Если 1 k n – 1, то пространство называется псевдоевклидовым.
Особенно большое значение имеет псевдоевклидово пространство при
k = n – 1. Оно называется пространством Минковского и при n = 4 играет важную роль в теории относительности.
