Анализ влияния не линейности

 

 Для анализа влияния нелинейности характеристик элементов следящей системы на её динамические свойства необходимо предварительно ввести в структурную схему системы нелинейные элементы.

Необходимо ввести в сервопривод нелинейный элемент (НЭ). Нелинейность можно задать функцией, отображаемой графиком, представленным на рисунке 5.1:

 

Рисунок 5.1 – Функция нелинейности

 

Нелинейный элемент имеет характеристику с насыщением, без зоны нечувствительности. Угол наклона характеристики должен быть 45°, т.к. нелинейный элемент повторяет входной сигнал до достижения значения выхода d_р.огр= А = 0,2°. Рассмотрим схему, представленную на рисунке 5.2:

Необходимо установить, возможно ли возникновение автоколебаний в такой системе. Данную задачу можно решить с помощью метода гармонического баланса, однако для этого исходную схему необходимо привести к виду, представленному на рисунке 5.3:

Рисунок 5.3 – Структурная схема

По нелинейному элементу, для применения метода гармонического баланса, получают его эквивалентную передаточную функцию, которая получается с помощью метода гармонической линеаризации с учетом гипотезы фильтрации низких частот, то есть получим схему, представленную на рисунке 5.4:

 

Рисунок 5.4 – Структурная схема с эквивалентной передаточной функцией

 

На рисунке 5.4 W_лч(s) = W₂(s)* W₃(s)* W_ДВ(s)* (W₈(s)+W₁(s)* W₇(s)), а W_экв(s) – эквивалентная передаточная функция. Для нахождения этой передаточной функции воспользуемся методом гармонического баланса. Суть этого метода заключается в том, что нелинейное выражение y = F(x), в данном случае рассматривается кривая не имеющая гистерезис, заменяется выражением, которое с точностью до высших гармоник аналогично линейному:

 

у= q(А)x + высшие гармоники (40)

 

То есть криволинейная или ломанная характеристика y = F(x) с точностью до высших гармоник заменяется прямолинейной, тангенс угла наклона которой q зависит от размера амплитуды колебаний А.

Для рассматриваемого случая:

 

, (41)

 

где А – амплитуда сигнала, причем А > а/k;

k – тангенс угла наклона нелинейности, в рассматриваемом случае k =1.

Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рисунке 5.4, имеет следующий вид:

 

              (42)

 

Отсюда, приравняв знаменатель к нулю, получим:

 

                       (43)

 

Произведя замену s на jω, получим уравнение Гольдфарба:

 

                 (43’)

 

Данное уравнение решается графически и его решение позволяет определить наличие в системе автоколебаний.

Передаточная функция линейной части:

 

 

Заменив s на jω и выделив мнимую и реальную части, построим в одной координатной плоскости годограф линейной части системы и обратную характеристику нелинейного звена

Так как не существует пересечение годографа с обратной характеристикой нелинейного звена, описываемой уравнением (- 1/q(A)), то можно утверждать, что автоколебания в системе нет. Значит определять частоту и амплитуду автоколебаний не имеет смысла.