Упражнение 35. Медвежатник (2)

Давайте вернемся к нашей задаче о взломщике сейфов. Вам нужно пройти через пять дверей, в каждой из которых кодовый замок. Вы вор, и уже девять раз из десяти вам удавалось верно подобрать код к такому замку; только на десятый раз вы не справились. Какова вероятность того, что вы сможете открыть все пять дверей?

Здесь требуется расчет вероятности взаимосвязанных событий, потому что вы перейдете ко второй двери, только если откроете первую, а к третьей – только если откроете вторую, и так далее.

Какова вероятность (В1) того, что вы сможете пройти через первую дверь? Мы можем рассчитать вероятность, исходя из ваших прежних результатов: девять из десяти. Какую долю от 10 составляет 9? 90 %, то есть В1 = 0,9.

Какова вероятность открыть и первую, и вторую двери? Возможность открыть вторую дверь зависит от того, открыли ли вы первую. Таким образом, мы должны умножить вероятность открыть первую дверь (0,9) на вероятность открыть вторую дверь. Думаете, вероятность открыть вторую дверь тоже 0,9? Нет, ответ неверный. Это была вероятность открыть первую дверь, которую мы рассчитали, исходя из того, что в прошлом вы смогли открыть 9 дверей из 10. Но после того как вы открыли первую из этих пяти дверей, ваш результат изменился: в совокупности вы успешно открыли уже 10 дверей из 11. То есть вероятность открыть вторую дверь составляет 10 / 11 = 0,91. Тогда вероятность открыть и первую, и вторую двери равна 0,9 × 0,91 = 0,82. Пока все понятно? Если нет, вернитесь к началу этого объяснения и перечитайте.

Рассчитайте вероятность того, что вы сможете открыть пятую дверь и украсть бриллиант. Запишите расчеты и ответ.

Предлагаю вам решение задачи:

В1 = 9 / 10 = 0,9;

В2 = 0,9 × (10 / 11) = 0,82;

В3 = 0,82 × (11 / 12) = 0,75;

В4 = 0,75 × (12 / 13) = 0,69;

В5 = 0,69 × (12 / 14) = 0,64.

Сравните 0,64 с со сделанным вами выше предположением о том, какова вероятность, что вы сможете украсть бриллиант. Насколько близка ваша оценка к расчету? Большинство склонны считать, что вероятность открыть все пять дверей и добраться до бриллианта довольно высока. Если вы ошиблись в оценке вероятности в задаче «Медвежатник (1)», не огорчайтесь: как я уже говорил, вероятность кажется большинству из нас одной из наиболее сложных для понимания и применения концепций. Ее совершенно невозможно понять интуитивно. Поэтому важно разобраться, чем отличаются взаимоисключающие и взаимосвязанные события и их вероятности, и как можно больше практиковаться в расчетах вероятности. Только так оценка вероятности станет понятной и привычной.

Разница между расчетом взаимоисключающих и взаимосвязанных событий особенно четко проявляется в том, как мы изображаем эти два вида расчетов на дереве вероятностей.

Чтобы определить вероятность двух или более событий, представляющих собой результат одного события или решения (ситуация «или – или»), мы складываем вероятность каждого из них. Чтобы определить вероятность одного или более взаимосвязанных и происходящих одно за другим событий (ситуация «и…, и…»), перемножаем вероятности каждого из них.

Отвечая на вопросы, требующие оценки вероятности, нужно тщательно читать формулировку вопроса, чтобы понять, относится он к единственному возможному событию (из числа взаимоисключающих событий) или к серии взаимосвязанных событий. Формулировка вопроса всегда критически важна. Необходимо уметь переформулировать задачу так, чтобы однозначно понять, в чем именно заключается вопрос.