Сходимость процессов к желаемой траектории

Исследование устойчивости системы с разрывным алгоритмом адаптации проведено на основе аналога теоремы Ляпунова для систем со скользящими режимами. Выполним анализ функции в виде квадратичной формы

,

где , полная производная по времени которой имеет вид  здесь использованы следующие обозначения . Из условия  выбираем , т.е. , а . Если  для любого момента времени, то производная рассматриваемой функции будет отрицательно определенной (). С учетом (4.2), получаем следующие условия на значения элементов матриц и g:

  (4.6)

       (4.7)

причем элементы  - зависят от рассогласования между соответствующими компонентами векторов a и k, (). Таким образом, величина λ_i определяется, в основном, координатными (ε_i) и параметрическими рассогласованиями.

С помощью функций Ляпунова также определяется оценка времени сходимости процессов к желаемой траектории. Время сходимости процессов в системе стабилизации с производными в законе адаптивного управления конечно и зависит от координатных и параметрических рассогласований в начальный момент времени, а также от коэффициента передачи адаптора. Требуемые оценки координат состояния и элементов вектора  могут быть получены с помощью линейного фильтра оценки производных (или наблюдателя состояния).

Пример 4.1.  Выполним расчет двухканальной адаптивной системы. Пусть динамика объекта описывается уравнениями:

где - неизвестные переменные, а -постоянные коэффициенты, i ≠ j.

Определение параметров эталонной модели осуществляется по желаемым корням характеристического полинома, область допустимого расположения которых вычисляется на основе показателей качества переходного процесса (перерегулирования - , времи переходного процесса по каналам - , величине установившейся ошибки - ):

где параметры  имеют следующие значения: ; ;  – входные воздействия. Тогда уравнения замкнутой системы, полученные в соответствии с изложенной методикой, имеют вид:

                      (4.8)

где a_i^* - коэффициенты эталонной модели.

Увеличение частоты и (или) амплитуды параметрического возмущения приводит к необходимости увеличения коэффициента передачи адаптора: , в частном случае, когда параметры объекта изменяются по гармоническому закону, должно выполняться неравенство: .       

Замечание: Введение нелинейного звена с релейной характеристикой в адаптор позволяет добиться дополнительных «форсирующих» свойств при ненулевых начальных условиях в контуре настройки коэффициентов регулятора;

расчет параметров регулятора выполнен с учетом известных оценок темпа возмущений, что упрощает настройку адаптора;

алгоритмы адаптации (4.5), (4.7) можно получить на основе дифференциальной формы алгоритма скоростного градиента при соответствующем выборе функции цели;

желаемое качество выходных процессов обеспечивается при нулевых начальных условиях;

 система сохраняет устойчивость независимо от ограниченных возмущений из заданного множества, координатных и параметрических начальных рассогласований в системе;

целесообразность использования рассмотренного класса адаптивных систем обусловлена жесткими требованиями к динамическим свойствам систем при существенной нестационарности характеристик объектов управления;

также как в системах, рассмотренных в гл. 3, качество работы в большей степени зависит от амплитуды и в меньшей степени – от частоты параметрических возмущений. Выбором коэффициентов передачи адаптора и блока желаемой динамики удается выполнить заданные требования по качеству переходных процессов.