Синтез контура адаптации

На этом этапе расчета системы определяются уравнения, в соответствии с которыми настраиваются коэффициенты регулятора, т.е. алгоритмы изменения k^r, k^x. Получим описание обобщенного настраиваемого объекта в отклонениях. Введем обозначения

и подставим (3.50) в (3.43), тогда

,

учитывая, что , выполним преобразования

,

 .                                   (3.52)

Обозначим расширенную матрицу отклонений настраиваемых коэффициентов от их «идеальных» значений через ,

,

а вектор сенсоров - s, элементы этого вектора измеряются или вычисляются на основе измерений,

, dim s = p x 1, p = n + m.

Уравнение (3.52) с учетом введенных обозначений примет вид

.

Полученное уравнение является уравнением системы в отклонениях.

Исследование системы проведем с помощью функции, зависящей от координатных и параметрических рассогласований,

,              (3.53)

где tr (.) – след матрицы, который определяется как сумма элементов главной диагонали. В силу уравнения (3.52) определим производную по времени функции V  :

.

Вторая составляющая уравнения обращается в нуль, если

         (3.54)

Уравнение (3.54) описывает алгоритм адаптации в отклонениях. Производная исследуемой функции принимает вид

отрицательная определенность следует из свойства гурвицевости матрицы коэффициентов эталонной модели  и положительности матрицы Н, удовлетворяющей уравнению Ляпунова:

Полагая медленное изменение коэффициентов () и учитывая ранее введенные обозначения, получим вид алгоритмов адаптации:

,                                     (3.55)

Структурная схема адаптивной системы (3.25), (3.26), (3.46), (3.55) изображена на рис. 3.14. Приняты следующие обозначения элементов схемы:

.

Условия, при которых решена поставленная задача, являются условиями идентифицируемости  при  и, одновременно, асимптотической устойчивости в целом

      Синтез адаптивной системы на основе второго метода Ляпунова состоит из следующих этапов:

1. Определение порядка и параметров эталонной модели;

2. Определение «идеального» закона управления;

3. Введение матриц идеальных коэффициентов регулятора;

4. Проверка условий согласованности модели и объекта управления;

5. Формирование реального закона управления;

6. Определение уравнения обобщенного настраиваемого объекта в отклонениях;

7. Проверка устойчивости системы вторым методом Ляпунова;

8. Определение условия отрицательной определенности производной выбранной функции относительно матрицы параметрических рассогласований;

9. Определение вида алгоритма адаптации.

Пример 3.3.  Используя приведенную выше последовательность действий, выполним расчёт регулятора для одноканального объекта первого порядка

где  Объект управления первого порядка, поэтому желаемую динамику системы зададим уравнением

>0,

причем  так как в статике должно выполнятся равенство  В процессе синтеза основного контура получим уравнение системы в отклонениях

                      (3.56)

Рис. 3.14. Общий вид системы адаптивного управления базе второго метода Ляпунова

 

Из условия разрешимости задачи синтеза основного контура определим “идеальный” закон управления:

Идеальные значения коэффициентов связаны с параметрами объекта и системы следующим образом

                  (3.57)

В реальный закон управления введём коэффициенты :

                                (3.58)

и модель обобщённого настраиваемого объекта запишем в виде

Используя обозначения параметрических рассогласований

 

и подставив (3.58) в (3.56), запишем уравнение в отклонениях

Из (3.57) выражаем b и :

тогда уравнение в отклонениях можно записать в виде

К правой части последнего уравнения добавим и отнимем , после чего получим   или, учитывая

          (3.59)

Матрица отклонений и вектор сенсоров имеют вид

                     (3.60)

Уравнение (3.59) с учётом (3.60) преобразуем к виду  

Анализ сходимости процессов в системе и одновременно определение алгоритма настройки коэффициентов выполним с помощью функции V:

где H=I, .

Определим полную производную выбранной функции

Алгоритм адаптации найдём из условия < 0, для этого потребуем выполнения равенства

Оно выполняется, если

или

Таким образом, определены алгоритмы настройки коэффициентов регулятора. Адаптивная система, рассчитанная вторым методом Ляпунова, представлена в виде структурной схемы на рис. 3.15, где приняты следующие обозначения: .

Рис. 3.15. Вид адаптивной системы для примера 3.3

 

Рис. 3.16 иллюстрирует процессы в системе с постоянными параметрическими возмущениями ( =5, =10, (0)=1). Влияние изменяющихся параметрических возмущений на выходные процессы системы, регулятора и адаптора приведены на рис. 3.17 (, =30, =40, (0)=1, (0)=1).

Рис. 3.16. Процессы в системе с постоянными параметрическими возмущениями

Рис. 3.17. Процессы в системе с переменными параметрическими возмущениями

 

Замечание: В рассмотренных классах систем прямого адаптивного управления для реализации регулятора и адаптора требуется текущая информация о координатах состояния или производных выходной переменной. Эта информация может быть получена с помощью наблюдателя в виде асимптотического идентификатора или фильтра оценки производных (ФОП). Введение дополнительного динамического звена в обратную связь увеличивает порядок замкнутой системы. Наблюдатели (или ФОП) влияют на качество выходных процессов. Особенно это проявляется при ненулевых значениях начальных координатных или параметрических рассогласований. Обладая широкой полосой пропускания, наблюдатели и ФОП ухудшают помехозащищенность систем управления.

Следует также обратить внимание на следующее: синтез алгоритмов адаптации проведен для квазистационарных объектов, поэтому отсутствуют условия выбора коэффициентов передачи адапторов. Особенностью алгоритмов, синтезированных градиентным методом и методом Ляпунова, являются ненулевые начальные условия в контурах настройки коэффициентов при управляющем воздействии.

Изменение параметров объекта управления может привести к увеличению амплитуды коэффициентов регулятора не только в переходном процессе, но и установившемся. Это приводит к необходимости расширения зоны нечувствительности релейных элементов, если они используются в адапторе, или введения ограничения на уровень выходных сигналов контуров настройки.