2020-04-07
122
3.1Теория Фокса и Ли. Плоскопараллельный резонатор В 1960-1961 гг. Фокс и Ли разработали физическую и математическую модель, описывающую процесс формирования собственных мод открытого резонатора [1]
На рис. 1 изображены два плоских квадратных зеркала со сторонами 2 а, расположенных на расстоянии L друг от друга. Здесь P1 и P2 – произвольные точки первого и второго зеркал, r –расстояние между точками P1 и P 2, q -угол между нормалью к поверхности первого зеркала в точке P 1 и отрезком P 1 P 2. Пусть U 1 –распределение поля на первом зеркале. Благодаря дифракции это распределение вызовет распределение поля U2 на втором зеркале, которое можно вычислить с помощью дифракционного интеграла Кирхгоффа.
| 2 a |
| 2 a |
| P 2 |
| P 1 |
| L |
| z |
| y 2 |
| y 1 |
| x 2 |
| x 1 |
Рис.1 Плоскопараллельный резонатор..
Поле в произвольной точке P2 второго зеркала учитывает вклад от всех точек первого зеркала, и определяется как
(1)
Здесь k =2p/l, где l- длина волны падающего излучения, dS 1 –элемент поверхности в точке P 1.
|
|
|
Рассмотрим распределение поля U, соответствующее моде резонатора. В этом случае распределение поля на зеркале 2, вычисленное по формуле (1), должно быть снова равно U с точностью до некоторого постоянного множителя. Тогда получаем
(2)
Где s - постоянная величина. Выражение (2) представляет собой однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные решения этого уравнения U определяют распределения поля на зеркалах резонатора, соответствующие его модам. Введем некоторые допущения. Пусть
L >> a
N = a 2/(L l) << (L/a)2 (3)
Где L – расстояние между зеркалами, 2 а –поперечный размер зеркал, N = a 2/(Ll) – число Френеля. При выполнении допущений (3) уравнение (2) существенно упрощается и, после перехода к безразмерным переменным x и h может быть переписано в виде
(4)
где
(5)
Для зеркал квадратной или прямоугольной формы возможно разделение переменных
Тогда из уравнения (4) получаем два уравнения
(6.1)
(6.2)
Хотя интегральные уравнения 6.1-6.2 выглядят значительно проще уравнения (2), они не имеют аналитического решения. Поэтому интегральные уравнения решаются численно. Задаются начальные условия (произвольное распределение поля у первого зеркала), и вычисляется поле у второго зеркала после первого прохода волны. Далее полученное распределение поля у второго зеркала используется для расчета поля у первого зеркала в результате второго прохода волны. Эти вычисления повторяются многократно для последующих проходов. Процесс заканчивается, когда форма распределения поля перестает меняться от прохода к проходу, т.е. первоначально случайное распределение приобретает пространственную структуру, соответствующую стационарному распределению. Полученное стационарное распределение является собственным решением уравнений (6.1-6.2.). Если начальное распределение поля представляет собой четную функцию x, то в конечном итоге получаем четную мод, а если начальное распределение было нечетной функцией x, то получим нечетную моду.
|
|
|
3.2 Конфокальный резонатор. Введем некоторые допущения. Пусть оба зеркала имеют в поперечном сечении квадрат со стороной 2 а. Как и в плоскопараллельном резонаторе, L – расстояние между зеркалами, N – число Френеля. Если использовать допущения (3), то уравнение (2) в случае конфокального резонатора можно существенно упростить. После переходя к безразмерным переменным x и h, уравнение (2) можно переписать в виде
Как и для случая плоскопараллельного резонатора x, h и s* определяются выражением (5).
Разделяя переменные, получаем
В случае если N >>1, собственные функции можно найти из аналитических выражений.
Где Hl и Hl полиномы Эрмита m-ого и l-ого порядка. Чиcла m и l соответствуют индексам моды TEMml . Полная собственная функция записывается в виде
4. Описание работы программы Resonator. Дружественный интерфейс позволяет студентам полностью сосредоточиться на изучении процессов формирования стационарного распределения поля в резонаторе. Пакет позволяет изучать формирование поля в плоскопараллельном и конфокальном резонаторе. При запуске программы появляется окно, предлагающее выбрать тип резонатора. При выборе плоскопараллельного резонатора появляется окно, в котором предлагается ввести исходные данные, - число Френеля и тип моды. (рис.2)
Рис. 2
Число Френеля можно ввести непосредственно, или рассчитать из геометрии резонатора. Введенные данные контролируются на соответствие их физическому смыслу. Если они выходят из области значений, допустимых для расчета, появляется соответствующее сообщение. На рисунке 3 представлено распределение амплитуды симметричной моды низшего порядка для числа Френеля N=0.6. По горизонтальной оси отложены безразмерные координаты, рассчитанные по формуле (5), по вертикальной оси нормированные значения амплитуды.
Программа позволяет вывести амплитуду поля в какой-либо точке в зависимости от числа проходов, наглядно демонстрируя, что после определенного числа проходов после перестает меняться, т.е. достигается стационарное распределение. Пример такого распределения представлен на рисунке 4 (симметричная мода низшего порядка, число Френеля N=7).
Результаты расчета могут быть записаны в файл и выведены на печать.
При выборе конфокального резонатора появляется окно ввода данных для расчета конфокального резонатора. Пример стационарного распределения поля в конфокальном резонаторе представлен на рисунке 5. (симметричная мода низшего порядка, L=0.5 м, l=0.6 мкм, N=10). По горизонтальной оси отложены безразмерные координаты, рассчитанные по формуле (5), по вертикальной оси нормированные значения амплитуды
Рис. 3
Рис. 4
Рис.5
