Условия совместности деформаций

Деформированное состояние тела однозначно определено, если заданы компоненты функции перемещения  или компоненты тензора деформаций . В первом случае требуется всего три функции, а во втором – шесть. В связи с этим возникает вопрос: а можно ли все компоненты тензора  задавать совершенно произвольно.

Из уравнения Коши получим:

     (2.26)

Эти соотношения называют уравнениями Сен – Венана. Они выражают условия совместности деформаций. Из уравнений Сен – Венана следует, что, если заданы три функции , то этого вполне достаточно для однозначного и полного описания деформированного состояния, так как три оставшиеся  определяют по уравнениям (2.26).

Скорости деформации.

При рассмотрении уравнений Коши, отмечалось, что деформация тела бесконечно мала, расстояние между точками бесконечно мало и т.д. В реальных производственных процессах обработки металлов давлением деформации тела исключительно велики, и показатели деформации ε, γ, образующие тензор , оказываются лишенными свойства аддитивности. Поэтому для анализа производственные процессы приходится разбивать на этапы так, чтобы в пределах каждого из них деформации можно было бы считать малыми. Задача упрощается, если движение сплошной среды описать в переменных Эйлера, задав поле скоростей. Поле скоростей – это совокупность значений компонент вектора скорости υ, заданных в каждой точке рассматриваемой области. Поле скоростей можно получить аналитически и экспериментально. Имея уравнения

 можно найти скорости деформации сплошной среды. Обозначим

                                                             (2.27)

Структура этих уравнений аналогична структуре уравнений Коши (2.15). Величины  - линейные относительные скорости деформации. Они имеют размерность 1/с. Скорости деформации  - это показатели изменения степени деформации ε в единицу времени в направлении соответствующих координатных осей. Аналогично устанавливаем смысл и определение скоростей деформации сдвига. Скорости деформации сдвига  - это показатели изменения первоначально прямых углов в единицу времени. Скорости деформации сдвига также имеют размерность 1/с. Скорости деформации ξ образуют тензор скоростей деформаций. Свойства тензоров Т_ξ, Т_ε во многом схожи. В частности, для пластической деформации

                            (2.28)

Это уравнение выражает условие постоянства объема в скоростях. По аналогии с условиями (2.28),

.                                                                     (2.29)

Для скоростей деформаций ξ можно определить положение в пространстве главных осей и найти тензор главных скоростей деформации

                                    (2.30)

    Здесь, как и в тензоре главных деформаций,  - наибольшая, а  - наименьшая скорость деформации в данной точке из всех возможных по любому направлению.