Выпуклость функции. Точки перегиба

Функция y = f (x) называется вогнутой (выпуклой вниз) на интервале (a; b), если на этом интервале график функции расположен не ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Функция y = f (x) называется выпуклой (выпуклой вверх) на интервале (a; b), если на этом интервале график функции расположен не выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на интервале (a; b). Если на этом интервале f ²(x) > 0, то функция вогнута, если f ²(x) < 0, то функция выпукла.

Точка графика функции y = f (x), при переходе через которую график меняет выпуклость на вогнутость, или наоборот, называется точкой перегиба. Если в точке перегиба к графику функции существует касательная, то график переходит в этой точке с одной стороны касательной на другую.

Необходимоеусловиесуществованияточкиперегиба. Если M (x ₀; f (x ₀)) — точка перегиба графика функции y = f (x), то вторая производная f ²(x ₀) равна нулю или не существует.

Достаточноеусловиесуществованияточкиперегиба. Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x ₀ и f ²(x ₀) = 0. Если при переходе через точку x ₀ вторая производная f ²(x) меняет знак, то точка M (x ₀; f (x ₀)) является точкой перегиба. Если вторая производная f ²(x) при переходе через точку x ₀ знака не меняет, то точка M (x ₀; f (x ₀)) не является точкой перегиба.

Схема исследования функции у = f (х)

на выпуклость и точки перегиба

1) Найти вторую производную функции f ²(х).

2) Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3) Найденные точки разбивают область определения функции на интервалы, на каждом из которых вторая производная f ²(х) сохраняет знак. Определить знак производной на каждом из этих интервалов. Если f ²(х) > 0 на рассматриваемом интервале, то функция вогнута; если f ²(х) < 0, то выпукла.

4) Сравнить знаки производной слева и справа от каждой критической точки и, используя достаточное условие перегиба, сделать вывод о наличии точек перегиба функции.