Общая схема исследования функции и построения графика

Для исследования функции у = f (х) рекомендуется использовать следующую схему.

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность, периодичность.

3. Точки пересечения графика с осями координат. Интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (х) > 0 или f (х) < 0).

4. Точки разрыва функции. Вертикальные асимптоты.

5. Поведение функции на бесконечности. Горизонтальные или наклонные асимптоты графика функции.

6. Интервалы монотонности функции. Точки экстремума.

7. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

8. Построение графика функции.

9. Множество значений функции.

Пример. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение

1. Функция не определена при x = 1 и x = –1. Область ее определения: D = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).

2. Функция  является нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля и . Поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Функция не является периодической.

3. Если x = 0, то y = 0. График пересекает ось Oy в точке О (0; 0). Если y = 0, то x = 0. График пересекает ось Ох в точке О (0; 0).

Функция положительна y > 0 на интервалах (–¥; –1), (0; 1); отрицательна — на (–1; 0), (1; +¥).

4. Точки x = ±1 — точки разрыва графика функции.

Вертикальные асимптоты могут быть только в точках разрыва. Найдем односторонние пределы функции при x ® ±1.

 и ,

 и .

Значит, вертикальных асимптот две: x = –1, x = 1.

5. Горизонтальных асимптот нет, так как

 и .

Найдем наклонные асимптоты.

,

.

Прямая y = – x — наклонная асимптота.

6. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Функция дифференцируема во всех точках числовой прямой, кроме x = ±1.

  .

Найдем критические точки. Производная функции не существует при x = ±1, а производная y ¢ = 0 при х ₁ = 0, . Критические точки разбивают числовую прямую на шесть промежутков. На интервалах ,
(–1; 0), (0; 1),  производная y ¢ > 0, следовательно, функция на каждом из этих интервалов возрастает. А на промежутках , , производная y ¢ < 0, следовательно, функция убывает на каждом из этих промежутков.

x = — точка минимума, x = — точка максимума.

7. Исследуем функцию на выпуклость, найдем точки перегиба.

.

Вторая производная равна нулю в точке x = 0 и не существует в точках x = ±1.

Точка (0,0) — точка перегиба графика функции.

График выпуклый вверх на интервалах: (–1; 0); (1; ¥); выпуклый вниз на интервалах: (–¥; –1); (1; +¥).

8. График функции имеет вид:

9. Множество значений функции E_f = (–¥; +¥).