Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8?

2. «Проказница-Мартышка,

Осел,

Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки –

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! – кричит Мартышка. – Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите!»

Сколькими способами можно рассадить в ряд героев басни
И.А. Крылова «Квартет»?

3. На книжной полке 30 книг, из них 27 различных и 3 книги одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

4. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

5. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика»?

6. Сколькими способами можно расставить шахматные фигуры (короля, ферзя, 2 ладьи, 2 слона, 2 коня) на одной горизонтали шахматной доски?

 

Сочетания

Сочетания во множестве из n элементов отличаются от размещений тем, что в подмножестве, состоящем из k элементов, в размещениях порядок определен, а в сочетаниях не важен.

Поэтому сочетанием из n элементов по k называется неупорядоченное подмножество (выборка), состоящее из k элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов. Число сочетаний обозначается  (от фр. combinaison – сочетание).

Для подсчета числа сочетаний возьмем формулу размещений  и поделим ее на число перестановок в подмножестве (так как порядок в сочетаниях не важен). Тогда формула сочетаний без повторений имеет вид:
Отсюда видно, что .

Отметим важные частные случаи: при k = 0 и k = n имеем ; при k = 1 ; при k = 2  .

Для числа сочетаний с повторениями из n элементов по k
используется обозначение . Для любого натурального k справедлива формула: .

Пример. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение. Т.к. порядок элементов в подмножестве не имеет значения, применяем формулу нахождения числа сочетаний без повторений
 способ.