Основные понятия и определения математической картографии

Развертыванием одной поверхности на другую при помощи изгибания называется такое преобразование первой поверхности, при котором сохраняются элементы ее внутренней геометрии, т. е. углы, площади, Гауссова кривизна поверхности, а также свойство кратчайших линий оставаться кратчайшими.

Из дифференциальной геометрии известно, что в любой точке каждой поверхности существуют два взаимно перпендикулярных главных нормальных сечения. Радиус кривизны одного из этих се­чений наибольший, а другого — наименьший по сравнению с радиу­сами кривизны всех прочих нормальных сечений, проходящих через ту же точку.

Радиусы кривизны главных нормальных сечений называются главными радиусами кривизны в данной точке поверхности.

Гауссова кривизна, или мера кривизны, поверхности в данной точке определяется выражением: k=1/R1*R2

где R1, R2— главные радиусы кривизны.

При изгибании поверхности произведение R₁ R₂ остается постоян­ным, хотя сами главные радиусы кривизны изменяются. Так как радиус прямой на плоскости R = бесконечности, то Гауссова кривизна пло­скости k — 1/бесконечность² = 0.Гауссова кривизна цилиндра и конуса равна k = l/R*бесконечность = О, следовательно, цилиндр и конус можно развернуть на плоскость.

Гауссова кривизна шара— величина постоянная, сле­довательно, шар нельзя развернуть на плоскость.

Гауссова кривизна сфероида величина перемен­ная, зависящая от широты, поэтому сфероид не развертывается ни на шар, ни на плоскость.

Невозможность развертывания шара и сфероида на плоскость можно доказать и так. Вообразим на поверхности шара сферический треугольник А₀В₀С₀, стороны которого образованы дугами боль­ших кругов, т. е. кратчайшими линиями. Предположим, что шар можно развернуть на плоскость с сохранением элементов внутрен­ней геометрии. В таком случае кратчайшие линии останутся крат­чайшими, т. е. стороны плоского треугольника АВС будут прямыми линиями, а углы его будут равны углам сферического треугольника.

Но сумма углов плоского треугольника А + В + С — 180°, а сферического — А₀ + В₀ + С₀= 180° + сферический избыток. Следовательно, наше предположение о возможности развернуть шар на плоскость было ошибочным.

Изобразить шар или сфероид на плоскости можно различными способами:

сохранить углы, но тогда кратчайшие линии на шаре или сфе­роиде уже не будут прямыми на плоскости, а масштаб площадей не будет постоянным;

сохранить постоянство масштаба площадей, но тогда исказятся углы и кратчайшие линии не будут прямыми на плоскости;

сохранить кратчайшие линии кратчайшими, но тогда будут ис­кажены и углы, и площади.

Придерживаясь терминологии В. В. Каврайского, свойство изображать кратчайшие линии кратчайшими будем называть ортодромичностью.

Географической картой называется уменьшенное, обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, полученное по оп­ределенному математическому закону. На основании сказанного ра­нее о невозможности развернуть шар или сфероид на плоскость ис­кажения изображений на географической карте неизбежны.

Планом называется такое изображение земной поверхности на плоскости, искажения которого не выходят за пределы графической точности, т. е. не превосходят 0,2 мм. В пределах этой точности на плане сохраняются углы, площади и свойство ортодромичности.

Картографической проекцией называется математический закон, осуществляющий связь между положением точки на земной поверх­ности и положением изображения этой точки на карте. Если хоу — система картографических прямоугольных координат, то выражения x=f₁(φ,λ); у=f₂(φ, λ) представляют собой уравнения картографической проекции, где φ и λ — координаты точек на земной поверхности.

Вид функций f₁ и f₂ может быть произвольным, но на функции накладываются два ограничения, действующих, во всяком случае, в той части карты, которая предназначается для практического при­менения:

изображение должно быть однозначным, т. е. точка М₀ на зем­ной поверхности должна изображаться одной и только одной точ­кой М на плоскости проекции;

изображение должно быть непрерывным, т. е. непрерывному пе­ремещению точки М₀ по земной поверхности должно отвечать непре­рывное перемещение ее изображения на плоскости проекции.

Зная вид функций f₁ и f₂, можно построить на плоскости проек­ции сетку меридианов и параллелей. Для этого задаются круглыми значениями φ и λ, например через 2 или 5°, и вычисляют соответст­вующие значения картографических координат хну точек пересе­чения меридианов и параллелей. Нанеся эти точки на бумагу, со­единяют их плавными линиями и получают картографическую сетку меридианов и параллелей.

Решив совместно систему уравнений, можно привести их к виду φ = F₁ (х, у); λ= F₂ (х, у) и тем самым получить уравнения мери­дианов и параллелей.