Плоскости и оси симметрии. Узоры на полосах и в круге

 

  Введенные преобразования системы координат позволяют дать определение плоскости и оси симметрии. Плоскостью симметрии называется плоскость относительно которой делается зеркальное отображение. Понятие «плоскость симметрии» удобно проиллюстрировать на буквах алфавита (рис. 9).

Рис. 9. Плоскости симметрии.

 

         Буква Б не имеет плоскостей симметрии, буква Л имеет одну вертикальную плоскость симметрии AA’, а С одну горизонтальную плоскость BB’. Буква Н имеет две плоскости симметрии. Квадрат имеет 4 плоскости симметрии проходящие через вершины и середины сторон (точнее, две системы плоскостей по две плоскости в каждой), правильный треугольник – 3, а ромб 2 плоскости симметрии проходящих через вершины.

         Плоскости симметрии имеют правильные выпуклые многоугольники и правильные звезчатые многоугольники.

     Скользящей симметрией называют комбинацию двух преобразований – зеркальной симметрии и сдвига (рис. 10).

 

                                    

 

Рис. 10. Скользящая симметрия.           Рис. 11. Ось симметрии второго порядка.

 

    Осью симметрии порядка n называется прямая, перпендикулярная плоскости рисунка, при повороте относительно которой на угол π/n рисунок совпадает сам с собой (рис. 11). Квадрат имеет ось симметрии четвертого порядка, правильный треугольник – третьего. Черно-белый рисунок (рис. 11) имеет ось симметрии второго порядка, раскрашенный не имеет оси симметрии.

    Типичным примером фигур, обладающих осями и плоскостями симметрии являются круглые окна в готических соборах, украшенные витражами (13,14).

 

 

Рис. 13. Розетка соборо в Упсале, Швеция.

 

 

 

Рис. 14. Церковь св. Николая в Блуа, Франция. Х111 в.

    Вторым примером, показывающим как используются на практике плоскости и оси симметрии являются узоры на полосах. При всем внешнем разнообразии таких орнаментов, существует всего семь типов узоров, которыу удобно иллюстрировать и обозначать соответствующими буквами латинского алфавита. Все узоры на полосе получаются преобразованием сдвига, т.е. повторением одной и той же стандартной фигуры, но сама исходная фигура – базовый элемент узора – может имет свои плоскости и оси симметрии.

1. Узор получен преобразованием сдвига. Нет ни плоскостей ни осей симметрии.

обозначение L L L L L L L L L L (L – повторяющаяся единица орнамента (рис 15)).

 

Рис. 15. Преобразование сдвига.

 

2. Узор получен преобразованиями сдвиги и зеркальным отражением (скользящая симметрия). Обозначение L Г L Г L Г L Г (рис. 10).

3. Узор получен преобразованием сдвига, но имеет две плоскости симметрии AA’ и BB’. Обозначение V V V V V (рис. 11,12).

Рис. 11. Две плоскости симметрии.

 

 

Рис. 12. Арки внутреннего дворики собора в Солсберри. Англия Х111 в.

 

4. Узор получен преобразованием сдвига и имеет две оси симметрии второго порядка, т.е. поворот на 180⁰ переводит рисунок сам в себя. Обозначение N N N N N N (рис. 13, оси симметрии выделены красным).

Рис. 13. Четвертый тип узора на полосе. Две оси симметрии.

 

5. Узор получен преобразованием сдвига и имеет одну ость симметрии второго порядка и одну плоскость симметрии (рис.14). Обозначение на рисунке.

Рис. 14. Пятый тип узора на полосе. Плоскость и ось симметрии.

 

6. Узор получен преобразованием сдвига и имеет одну плоскость симметрии AA’. обозначение D D D D D (рис. 15).

Рис. 15. Шестой тип узора на полосе. Плоскость симметрии.

 

7. Узор получен преобразованием сдвига и имеет три плоскости и две оси симметрии второго порядка. Обозначение Н Н Н Н Н (рис. 16).

 

Рис. 16. Седьмой тип узора на полосе. Три плоскости симметрии AA’, BB’, CC’ и две оси симметрии второго порядка.

 

 

Линии на плоскости.

 

Рассмотрим с точки зрения аналитической геометрии некоторые наиболее важные для приложений линии на плоскости.