Оценка истинного значения косвенно измеренной величины

С величинами, непосредственно измеряемыми на опыте, мы встречаемся сравнительно редко. Большинство величин вычисляется с помощью формул через другие величины, которые мы можем измерить непосредственно. Ошибка в таких случаях, оказывается, зависит не только от ошибок, допущенных при непосредственных измерениях, но и от вида той математической формулы, которая связывает данную величину с величинами, измеренными непосредственно.

1. Результаты измерений записываются в таблицу.

Для оценки истинного значения измеряемой величины пользуются приемами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией (z = f(x_i)), а величины, непосредственно измеряемые – ее аргументами (x₁, x₂, …x_n).

2. Для результатов прямых измерений – аргументов  функции f, где i – номер аргумента – вычисляются:

a. Средние значения (см. п. 6, подпункт 2);

b. Стандартные отклонения (см. п. 6, подпункт 3–5);

3. Для каждого аргумента вычисляются:

a. Суммарные систематические ошибки (см. п. 6, подпункт 6);

b. Интервалы  ( – истинные значения аргументов), для которых справедливо разложение функции f в ряд Тейлора, ограничиваясь линейными членами

 .

4. Для каждого аргумента проверяется условие

.

Если это условие не выполняется хотя бы для одного из аргументов, то измерения продолжаются до тех пор, пока это условие не начнет выполняться, иначе используют более точные приборы или иной метод измерений.

5. Вид функциональной зависимости определяется формулой, связывающей эти величины. В общем случае

z = f (x₁, x₂, …x_n).

Для оценки истинного значения z, косвенно измеренного на опыте, поступают следующим образом.

Путем подстановки в расчетную формулу средних значений величин, непосредственно измеренных, вычисляют среднее значение косвенно измеренной величины

                .

5. Вычисляется стандартное отклонение систематических ошибок

                                                .                                     (6)

6. Вычисляется оценка стандартного отклонения для случайных ошибок

                                                .                                        (7)

7. Задается коэффициент доверия .

8. Вычисляется полуширина интервала для систематической ошибки

.

Для расчета доверительного интервала используют два приема, описанные ниже (пункты а и б), которые позволяют определить его посредством нахождения полного дифференциала величины z, –при условии не громоздкой формулы (пункт а.)

 z = f (x₁, x₂, …, x_i,… x_n)

и при наличии громоздкой формулы или больших показателей степеней – применением логарифмического дифференцирования (пункт б).

а. Итак, формула полного дифференциала

            ,

где слагаемые есть частные дифференциалы по соответствующим переменным,

 – частная производная по переменной x₁ – находится в предположении, что другие переменные (x₁, x₂, …x _n) величины постоянные и т.д.

     Производим замену бесконечно малых величин на конечные (в пределах погрешности в несколько процентов) , получаем . Каждый член суммы представляет ошибку, которая может иметь и отрицательное значение. Ошибки же могут только суммироваться. Используем прием, который подсказан теорией, возводим ошибку в квадрат и из суммы квадратов извлекаем корень

.

При этом проводим операцию присвоения, т.е. значению  присваиваем , ; _, таким образом, доверительный интервал величины z определяется формулой . В итоге .

б. Второй способ позволяет упростить расчеты, если функция  сложная и имеет степени. Переводим функцию z в функцию ln z, т.е. . Находим дифференциал, помня, что дифференциал логарифма переменной равен произведению производной на дифференциал данной переменной (зависимой или независимой)

 ,   ;  _, заменяем , затем возводим в квадрат каждую из ошибок, которые являются относительными, и из суммы этих квадратов извлекаем корень, проведя операцию присвоения.

, ,

.

10. Окончательный результат записывается в виде

 а) , вероятность ;

б) , (число), вероятность ; (число);

в) , (число), (число).

Формула а) применяется, когда случайные ошибки малы. Формула б) применяется, когда систематическая ошибка учитывается интервалом. Формула в) применяется в остальных случаях.

9.  Множитель  находят из таблиц (см. выше).

8. Число знаков при определении погрешностей

     Округление величин, полученных в экспериментах, следует делать обязательно, так как излишне большое число приводимых десятичных знаков создает ложное впечатление о большой точности результата. Даже при большом количестве экспериментов доверительные интервалы получаются большими. Погрешность эксперимента редко удается определить с точностью лучше 20%. Надо ясно представлять, что выше точности прибора точность результата не может быть в принципе. Оценим, например, такой результат . Восьмерка в четвертом разряде после запятой доверительного интервала составляет

.

Семерка в третьем разряде после запятой составляет

.

Одним процентом на фоне десятка можно пренебречь, поэтому остается разумным иметь в ошибке не более двух значащих цифр, то есть следует записать результат следующим образом . Но не следует округлять значение ошибки ±0,14 до ± 0,1, так как такое округление изменит величину погрешности на целых 40%.

Следует помнить, что запись должна быть сбалансирована по точности, то есть, среднее значение должно иметь столько знаков после запятой, сколько и ошибка. Так один и тот же результат, в зависимости от погрешности запишется в виде: 1,2 ± 0,2; 1,24 ± 0,03; 1,243 ± 0,012 и т.д. Таким образом, последняя из указанных цифр (или даже две из них, как в последнем примере) оказывается сомнительной, а остальные – достоверными. Сформулированное правило следует применять и в тех случаях, когда некоторые из цифр являются нулями. Обычно в промежуточных расчетах сохраняется один лишний знак, который в дальнейшем, при записи окончательного результата, будет отброшен