Задача о скорости химической реакции

Пусть дана функция m=m(t), где m - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение -средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю, т.е. есть скорость химической реакции в данный момент времени t, V=m′(t).

Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной, следует несколько выводов:

1. Скорость прямолинейного движения есть производная пути S=S(t) по времени t, т.е. V=S′(аналогично ускорение есть производная скорости а=V′). В этом состоит механический смысл производной.

2. Скорость химической реакции есть производная количества вещества m=m(t) по времени t, т.е. V=m′(t).

3. Скорость роста популяции есть производная размера популяции p=p(t) по времени t, т.е. V=p′(t).

4. Скорость роста численности населения есть производная от количества населения А=А(t) по времени t, т.е. V=A′(t).

5. Сила переменного тока J есть производная количества электричества q=q(t) по времени t, т.е. J =q′(t).

6. Угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀ есть производная f′(x₀). В этом состоит геометрический смысл производной.

7. Производительность труда f(t) есть производная от выработки продукции F(t) по времени t, т.е. f(t)=F′(t).

Примеры.

I. Если популяция в момент времени t насчитывает p(t)=3000+100t² особей (t измеряется в часах), то скорость роста популяции есть p′(t)=200t.

Скорость роста популяции увеличивается со временем.

Если t=5, то скорость роста составляет р′(5)=200·5=1000 особей в час.

Если t=10, то р′(10)=200·10=2000 особей в час.

II. Ракета при движении совершает колебательное движение вокруг своей оси по закону . Найти угловую скорость и ускорение движения в момент времени . Дать характеристику движения.

Решение:

(рад/с)

ε (рад/с²)

неравномерное движение

Ответ: =6 рад/с, ε =18 рад/с².

III. Пуля, попадая в твердое тело, движется в нем по закону S(t)= ln(1+kV₀t), где V₀ - скорость, с которой пуля входит в тело, k – постоянная положительная величина.

Решение: V(t)=S′(t)

V(t)=

Ответ: V = ; а =-k∙V².

IV. Материальная точка движется вдоль оси ОХ согласно закону x(t). Найти скорость и ускорение движения в начальный момент времени. Описать характер движения и схематически изобразить движение материальной точки, если:

а). x(t)=

(м/с)

(м/с²)

Равнозамедленное движение в сторону, противоположную оси ОХ.

б).

V(t)=x′(t)=5+t; V(0) 5 (м/с)

a (t)=V′(t)=1; a =1 (м/с²)

Равноускоренное движение в сторону оси ОХ.

в). х(t)=- ;

V(t)=x′(t)=- ; V(0)= =3,5 (м/с)

a (t)=V′(t)=-1,5; а =-1,5 (м/с²)

Равнозамедленное движение в сторону оси ОХ.

V. Материальная точка движется по прямой. Уравнение движения: S(t)= (м). Найдите ее скорость в момент времени t=3 (c). В какой момент времени ускорение будет равно 9 м/с²?

Решение: а). V(t)=S′(t)=3t²-3t+2;

V(3)=27-9+2=20 (м/с).

б). a (t)=V′(t)=6t-3;

6t-3=9; 6t=12; t=2 (с).

Ответ: V(3)=20 м/с; а =9 м/с² в момент времени t=2с.

VI. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ(t). Найти угловую скорость и угловое ускорение движения. Дать характеристику движения, если: