Для получения реализации последовательности независимых случайных величин с произвольным распределением используют реализации последовательности независимых случайных величин равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Случайные равномерно распределенные величины генерируются специальной программой, входящей в математическое обеспечение компьютера, и называемой датчиком случайных чисел.
При моделировании нормально распределенной случайной величины на основе равномерно распределенных величин чаще всего используется центральная предельная теорема:
Пусть последовательность взаимно независимых случайных величин, имеющих одно и то же распределение вероятностей с конечным математическим ожиданием . Тогда при имеем:
1) случайная величина , вычисляемая по формуле (1.1), сходится по вероятности к
(1.1)
2) случайная величина имеет асимптотически нормальное распределение вероятностей с центром и дисперсией, вычисляемой по формуле (1.2), при условии, что существует общая дисперсия величин .
|
|
(1.2)
На основании центральной предельной теоремы рассмотрим сумму
,
где - совокупность взаимно независимых равномерно распределенных случайных величин на отрезке R[0,1].
Известно, что каждая из случайных величин с распределением R[0,1] имеет математическое ожидание (1.3) и дисперсию (1.4).
(1.3)
(1.4)
Тогда согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий
,
.
Следовательно, случайная величина (1.5) имеет математическое ожидание и дисперсию и при ее распределение стремится к нормальному.
(1.5)
В данной работе дано количество слагаемых в сумме N, задано математическое ожидание и стандартное отклонение выходной случайной величины y. Если известна случайная величина с распределением N[0,1], то случайная величина с распределением N[ ] получается в результате линейного преобразования
(1.6)
Гистограмма распределения представляет собой удобный способ представления статистических данных. Гистограмма строится следующим образом:
Пусть имеется выборка случайной величины объемом n: . Из этой выборки определяются минимальные (1.7) и максимальные (1.8) значения:
(1.7)
При данных условиях
(1.8)
При данных условиях
Весь отрезок [A,B] разбивается на K интервалов, как правило, одинаковой длины.
Число интервалов при построении гистограммы не должно быть слишком большим и слишком малым. При большом количестве интервалов в гистограмме обнаруживаются незакономерные колебания. На практике рекомендуется в каждом интервале иметь не менее 5-10 точек. Предварительный выбор количества интервалов можно сделать по правилу Стургенса:
|
|
(1.9)
где n – объём выборки,
() – операция взятия целой части от действительного числа Если число точек в интервале слишком мало (порядка 1-2), то имеет смысл объединить некоторые интервалы и пересчитать гистограмму.
Найдя количество интервалов разбиения, можно вычислить длину каждого интервала по формуле:
или
(1.10)
Для построения гистограммы нужно частоту попадания случайных величин xk в каждый интервал [ ) разделить на его длину и полученную величину взять в качестве высоты прямоугольника на графике. Причем последний интервал необходимо рассмотреть как отрезок. Таким образом, описанное правило можно изобразить математически:
(1.11)
(1.12)
где и - границы интервала,
- частота попадания выборочных величин в интервал ()
n – объём выборки
- высота прямоугольника на графике
Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:
(1.13)
где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:
(1.14)
На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону
(1.15)
В итоге получится гистограмма распределения (см. график 1) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.
График 1 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения