Дана функция (2.1), в которой необходимо сначала определить неизвестный коэффициент, а затем вычислить функцию распределения.
f(x)=b(3-x), b>0, 1<x<2, (2.1)
Для этих вычислений воспользуемся методом обратной функции. Для вычисления неизвестного коэффициента (параметра) воспользуемся проверкой условия нормировки (2.2):
(2.2)
Подставив данную для исследований функцию, получаем:
, (2.3)
Прировняв полученное выражение к единице, находим параметр b:
b=2/3 (2.4)
Подставив найденный параметр в начальную функцию, получаем:
(2.5)
Далее необходимо вычислить функцию распределения
(2.6)
где u – случайная величина, распределённая на отрезке [0;1]
x1 – нижний предел функции f(x)
Для функции (2.1) получаем:
(2.7)
При решении уравнения (2.7) получаем неопределённость:
(2.8)
Для выбора искомой функции, необходимо проверить принадлежность х интервалу (1;2) при крайних значениях u. После проверки один вариант функции (2.8) отсеялся, функция (2.8) приняла вид:
(2.9)
Получили закон распределения
.
Тогда за теоретическую плотность распределения принимается функция (2.5). Остальные вычисления аналогичны первому разделу.
Количество интервалов в гистограмме, определенное по правилу Стургерса:
, .
Промежуточные вычисления для построения гистограммы определяются как в предыдущем разделе:
(2.6)
(2.7)
где и - границы интервала,
- частота попадания выборочных величин в интервал ()
n – объём выборки
- высота прямоугольника на графике
Из способа построения гистограммы следует, что полная площадь всех прямоугольников равна единице:
(2.8)
где fs(x) - эмпирическая плотность распределения (полученная экспериментально), которую можно вычислить по формуле:
(2.9)
На полученную гистограмму для качественного анализа необходимо наложить теоретическую плотность распределения случайной величины, распределенной по закону:
(2.10)
В итоге получится гистограмма распределения (см. график 2) с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, которая даёт возможность наглядно сравнить эти плотности.
График 2 – Сравнение эмпирической и теоретической плотностей распределения