2020-04-12
375
Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка обычно обозначается буквой О и называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат.
Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными
плоскостями.
Определение. Декартова система координат называется прямоуголь-ной, если все ее базисные векторы попарно перпендикулярны и их модули равны единице. Часто для векторов такого базиса вводят специальные обозначения: i, j, k (рис. 1).
Рис. 1.
Направление векторов i, j, k выбирают совпадающим с направлением осей Ох, Оу, Оz, так что эти базисные векторы являются ортами осей декартовой прямоугольной системы координат.
Хотя многие утверждения и свойства справедливы в произвольной декарто-вой системе координат, в дальнейшем изложении система координат будет подразумеваться прямоугольной декартовой, если специально не оговорено иное.
Итак, любой вектор а пространства может быть разложен по базису i, j, k:
a = ax i + ay j + az k, (3)
где ax, ay, az – координаты вектора а в этом базисе; иначе они называются
проекциями вектора а на координатные оси Ох, Оу, Оz соответственно.
Можно записать также Можно записать также
a ={ ax , ay , az },
В дальнейшем мы будем задавать векторы и в форме (3), и в форме (4).
Из свойств линейных операций над векторами следует
Утверждение 1. При сложении векторов a ={ ax, ay, az } и
b ={ bx, by, bz } их соответствующие компоненты складываются:
a - b ={ ax - bx, ay - by, az - by }. (5)
При умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это
число:
l a ={l ax,l ay,l az }. (6)
Следствие. Условие коллинеарности двух ненулевых векторов
a { ax, ay, az } и b { bx, by, bz }
векторной форме: b a,
в координатной форме: 
т.е. соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны. В
Определение. Радиус-вектором точки A (xA, yA, zA) называется
вектор OA. Его компоненты совпадают с координатами точки А:
OA ={ xA, yA, zA }
