Для анализа сигналов очень важны методы представления математической модели сигнала в виде разложения ее в функциональный ряд. Функциональные ряды широко используются при решении многих задач физики и математики. Тригонометрический, гармонический ряд или ряд Фурье занимает среди них особое место. Для радиотехнических приложений важность разложения сигнала по ортогональной гармонической системе функций определяется, в частности, тем, что, во-первых, такое разложение оказывается безусловно применимым как для сигналов, модели которых заданы единым аналитическим выражением, так и для сигналов кусочно-заданных несколькими аналитическими выражениями; во-вторых, характером преобразования, которое претерпевает сигнал (1.1) при прохождении через стационарную линейную (например, RLC) цепь; как известно, выходным сигналом в этом случае является гармонический сигнал с той же круговой частотой со0, отличающийся от входного амплитудой и фазовым сдвигом. Если разложение входного сигнала по ортогональной системе тригонометрических функций известно, то выходной сигнал может быть получен как сумма независимо преобразованных цепью входных гармоник.
|
|
Тригонометрическая форма рада Фурье. Будем считать известным [3],
что периодический сигнал (1.6)
определенный на бесконечном интервале , может быть представлен в виде ряда Фурье:
(1.16)
где и Установлено, что разложение (1.16) существует, если r(t) на периоде Т удовлетворяет условиям Дирихле:
• не имеет разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);
• имеет конечное число разрывов 1-го рода;
• имеет конечное число экстремумов.
Коэффициенты ак (включая ) и определяются формулами
(1.17)
Иногда удобнее вычислять не по общему выражению для <% полученному в результате интегрирования, а положив к= 0 непосредственно в (1.17):
(1.18)
В радиотехнической практике часто оказывается удобнее иное представление ряда (1.16). Проделав элементарные преобразования:
где
получим представление сигнала в виде ряда Фурье в вещественной форме:
(1.19)
Часто используется обозначение . Совокупность и коэффициентов в (1.19) образует амплитудный, а совокупность — фазовый спектры периодического сигнала .Возможный их вид показан на рис. 1.1, а, б соответственно.
|
|
Комплексная форма ряда Фурье. Воспользовавшись формулами Эйлера
ряд (1.16) можно записать в виде:
Введем комплексные амплитуды
(1.20)
и «отрицательные» частоты , т. е. включим в область изменения k значения к < 0 и запишем (1.16) в виде:
Рис. 1.1. Возможный вид амплитудного (а) и фазового (б) спектров периодического сигнала
Это представление называют комплексной формой ряда Фурье. Если дополнительно ввести обозначение Со = Со = ао/2, ряд Фурье в комплексной форме можно записать лаконичнее:
(1.21)
Целесообразность введения комплексной формы ряда Фурье обусловлена удобством выполнения математических преобразований и некоторыми другими обстоятельствами.
Коэффициенты ряда (1.21) Ск образуют дискретный комплексный спектр периодического сигнала sr (t), определенный на всех частотах , к = 0, ±1, ±2,... вместе с амплитудным и фазовым = спектрами. На рис. 1.2 приведен возможный вид амплитудного спектра .
Очевидно, что Рассмотрим ряд (1.21) подробнее:
преобразуем, вновь используя формулы Эйлера, сумму
Следовательно,
Сопоставив выражения (1.17) и (1.20), замечаем, что
Рис. 1.2 Амплитудный спектр периодического сигнала при использовании комплексной формы ряда Фурье
(1.21)
Формула (1.22) используется для непосредственного вычисления
Замечание 1
Пределы интегрирования в выражениях (1.17) и (1.22) могут быть изменены; существенно лишь то, что интегрировать следует по интервалу, равному полному периоду, например, от —Т/2 до Т/2 или от –Т до 0 и т. д. Это связано с тем, что для периодической с периодом Т функции f(t) значение определенного интеграла
не зависит от . Это соображение иногда оказывается полезным при практических вычислениях. Например, рассматривая (1.17) при симметричных пределах интегрирования от —Т/2 до Т/2, легко видеть, что ряд (1.17) будет содержать: в случае четности функции лишь косинусоидальные члены с коэффициентами ; в случае нечетности функции лишь синусоидальные члены с коэффициентами — независимо от того, какие пределы интегрирования будут реально выбраны при вычислении коэффициентов и .
Замечание 2
Подчеркнем эквидистантность спектра Фурье: частоты, на которых расположены коэффициенты ряда, образуют эквидистантную последовательность (... , , 0, , , ,...), непременно содержащую = 0 и имеющую шаг . Сами же коэффициенты могут принимать любые, в том числе и нулевые, значения.
Замечание 3
При обсуждении вопросов разложения периодического сигнала в ряд Фурье упоминалась ортогональность системы функций, по которой ведется разложение [1].
Напомним определение ортогональности системы функций: бесконечная система в общем случае комплексных функций ортогональна на интервале , если
при и (1.23)
Для рассмотренных представлений гармонического ряда Фурье интервалом ортогональности является период , а систему функций образуют комплексные экспоненты или , для которых выполнение соотношений (1.23) легко проверяется непосредственно.