Преобразование Фурье некоторых сигналов

Рассмотрим преобразование Фурье некоторых часто используемых моделей видео- и радиосигналов.

Функция Дирака. Воспользуемся фильтрующим свойством -функции (1.11) и будем искать ее спектр:

(1.38)

Во всем частотном диапазоне модуль спектра -функции постоянен, фазовый спектр равен нулю.

Естественным является предположение о существовании представления в виде обратного преобразования Фурье найденной спектральной функции :

Из последней формулы следует, что

(1.39)

а также, в силу отмеченной в § 1.4 симметрии преобразования Фурье относительно переменных t и ,

(1.40)

Преобразование Фурье функции :

(1.40)

Рис. 1.7. Функция Дирака (а) и ее спектр (б)

Амплитудный спектр сдвинутой во времени -функции не изменяется, фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое . Принятое графическое обозначение , ее амплитудный и фазовый спектры показаны на рис. 1.7, а, б.

Прямоугольный видеоимпульс. При практическом вычислении интеграла (1.31) пределы интегрирования определяются интервалом (интервалами) существования отличных от нуля значений сигнала.

Для сигнала (1.4)

(1.42)

Как и следовали ожидать, Фурье-преобразование четной функции оказалось вещественной функцией . Показательная форма удобна для анализа и графического построения. На рис. 1.8, а, б приведены графики модуля и фазы спектральной функции прямоугольного видеоимпульса. Здесь

координаты «нулей» модуля определяют при к = ±1, ±2,... из уравнения . Полезно сравнить полученный результат и ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов, рассмотренный в § 1.3.

Фазовый спектр в рассматриваемом случае своеобразен: мнимая часть спектральной функции тождественно равна нулю, но

Рис. 1.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры прямоугольного видеоимпульса

именно является множителем, который при записи в форме (1.42) отражает знакопеременный характер вещественной функции . Поэтому принимают:

• для интервала частот ;

• для интервала частот и т. д.

Прямоугольный радиоимпульс (радиосигнал). Для радиосигнала (1.15) получим

(1.43)

График модуля выражения (1.43) приведен на рис. 1.9. Оказывается, что умножение видеоимпульса на гармоническую функцию

в спектральной области приводит к смещению спектра видеоимпульса влево и вправо по оси частот на величину .

Назовем спектральную функцию (1.42) спектром огибающей, введем обозначение

и используем его, переписав выражение (1.43) в виде

(1.44)

подчеркивающем найденную нами связь спектров радиосигнала и его огибающей.

Замечание 1

Поведение спектральной функции (1.43) на всей частотной оси определяют оба слагаемых в фигурных скобках, хотя в окрестностях частот доминируют соответственно компоненты и Значения максимумов модуля спектра в точках равны

и степень взаимного влияния компонент и оценивается величиной

, или, другими словами, соотношением частоты заполнения и длительности сигнала Т. Так, чем больше значение при фиксированном Т, тем незначительнее влияние компоненты на поведение спектральной функции (1.43) в области положительных частот и т. д.

Эффективная ширина и максимальная (граничная) частота спектральной функции. Амплитудные спектры рассмотренных видео- и радиоимпульсного финитных сигналов оказываются бесконечно широкими, хотя и убывают с ростом . В связи с этим обычно ставят вопрос о «практической», эффективной ширине спектра сигнала. Критерии для определения этой величины могут быть различными. При «лепестковой» структуре амплитудного спектра, как в рассмотренных случаях, за эффективную иногда принимают ширину «главного» лепестка спектра. При этом становится актуальным уже затрагивавшийся вопрос о физической реальности отрицательных частот: так, за эффективную ширину амплитудного спектра прямоугольного видеоимпульса принимают интервал и

Используя аналогичный критерий, интервал принимают за эффективную ширину амплитудного спектра соответствующего прямоугольного радиоимпульса. Эта величина оказывается в два раза больше,

Длительность сигнала и эффективная ширина его спектра связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Это общее, справедливое для сигналов любой формы положение обычно фиксируют эвристически, анализируя конкретные сигналы.

С эффективной шириной спектра тесно связано понятие максимальной (граничной) частоты спектральной функции. Спектр видеосигнала всегда концентрируется в области нулевой и низких частот {«низкочастотный спектр»), его максимальная частота совпадает (при использовании единого критерия) со значением ,

Максимальная частота спектра соответствующего радиосигнала, концентрирующегося в области несущей частоты {«полосовой спектр»), как легко видеть из рис. 1.9, связана с эффективной шириной спектра соотношениями

Экспоненциальный импульс. Гладкой функцией частоты оказывается спектральная функция сигнала (1.3)

(1.46)

Амплитудный спектр экспоненциального импульса бесконечно широк. Читателю предлагается самостоятельно построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала (1.3) и рассчитать его базу. В качестве критерия для определения эффективной длительности сигнала можно выбрать уровень от значения s_max(t) и положить .

Замечание 3

Вернемся к вопросу о симметрии преобразований Фурье (см. 1.4) и покажем, какое практическое значение могут иногда иметь приведенные там соображения. При вычислении спектральной функции прямоугольного видеоимпульса выяснилось, что финитному, ограниченному во времени сигналу соответствует бесконечно широкий, неограниченный по частоте спектр. Рассмотрим финитную вещественную прямоугольную спектральную функцию

и применим к ней обратное преобразование Фурье (1.32). Результатом оказывается бесконечно протяженный во времени (т. е. физически нереальный) сигнал:

На основании этого можно сделать вывод (не вполне строгий, разумеется) о физической нереальности сигналов с финитным спектром.

ТЕОРЕМЫ О СПЕКТРАХ

Площадь сигнала. Положив в соотношении (1.31) , получим

Значение численно равно «площади» сигнала в системе координат «время—сигнал». Полезно сравнить этот общий результат с результатом вычисления спектральной функции (1.43) прямоугольного видеоимпульса.

Сумма сигналов (линейность преобразования Фурье). Пусть , g(t), h(t),... — сигналы со спектральными функциями соответственно. Тогда сигналу соответствует преобразование Фурье в виде:

Доказательство предоставляется читателю сделать самостоятельно.

Сдвиг сигнала во времени. Пусть сигналу s(f) соответствует спектральная функция S(a). Найдем преобразование Фурье сдвинутого во времени сигнала,

(1.47)

При сдвиге сигнала на временной интервал амплитудный спектр сигнала не изменяется, в фазовом спектре сигнала появляется дополнительная компонента . Множитель называют оператором задержки сигнала.

Пример. Спектральная функция задержанного, т. е. сдвинутого по оси абсцисс на время Т/2, видеоимпульса (1.4):

(1.48)

(1.49)

Полезно сравнить этот результат и формулу (1.47). В качестве в формуле (1.49) выступает фазовый спектр рассмотренного выше прямоугольного видеоимпульса (1.4). График фазового спектра сигнала (1.48) показан на рис. 1.8, б пунктирной линией.