Принцип Гюйгенса - Френеля. Метод зон Френеля

Под дифракцией света обычно понимают все явления, приводящие к отклонению от законов геометрической оптики. Если фронт волны распространяется в пустоте или однородной неограниченной среде, то луч всегда прямая линия. Если же часть волнового фронта ограничить какими-либо препятствиями, то на границе этих препятствий свет уже не распространяется прямолинейно, а отклоняется на угол порядка λ/d, где λ - длина волны, a d - размер препятствия (или отверстия в препятствии). Дифракция наблюдается также при наличии в среде прозрачных неоднородностей, т.е. включений с другим показателем преломления. В результате дифракции на экране граница света и тени от препятствия оказывается размытой. Более того, вблизи границы и в области тени, и в области света наблюдаются интерференционные полосы. Качествен но дифракцию света можно объяснить, исходя из принципа Гюйгенса. Амплитуды колебаний, пришедших в точку А от различных участков волновой поверхности S (Рис. 1), зависят от расстояний r_i этих участков до точки А, их площади и угла между нормалью n_i к участку и направлением на точку А. При нахождении результирующей амплитуды колебаний от всех участков необходимо учитывать ещё и то, что фазы отдельных колебаний могут не совпадать из - за различия расстояний r_i до точки А. Таким образом, нахождение результирующей амплитуды колебания, а, следовательно, и освещенности в какой-либо точке дифракционной картины в общем случае довольно сложная задача, связанная с интегрированием. В ряде случаев для исследования дифракционных картин может быть применен более простой метод, так называемый метод зон Френеля.

Рассмотрим метод зон Френеля на примере дифракции на круглом отверстии. Пусть имеется точечный источник света S и экран МN с круглым отверстием (Рис.2). Требуется определить освещенность в точке А, лежащей на прямой OS, перпендикулярной MN. Отверстие пропустит лишь часть фронта сферической волны, действием которой будет определяться освещенность в точке А. Колебания от точки 0 приходят в точку А раньше, чем от других точек фронта волны, например, от точки 1 или 1'. Т.е. колебания от точек 0 и 1 (1') имеют в точке А различные фазы. Разность фаз зависит от разности расстояний (разности хода) между точкой А и соответствующими точками фронта волны. При разности хода D=l/2 (l - длина волны) колебания приходят в противофазе и гасят друг друга.

 

Этот факт использовал Френель, предложив разбить открытую часть фронта волны на области (зоны) так, чтобы разность фаз вторичных волн от одной зоны не превышала p. Сложение таких волн от одной зоны приводит к их взаимному усилению. Поэтому каждую зону можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определенную фазу. Таким образом, в случае сферического фронта волны центральная зона I представляет собой сферический сегмент, ограниченный точками, для которых r₁ = r₀+λ/2. Соседняя зона II представляет собой кольцевую область на сфере, заключенную между точками, для которых с одной стороны r =r₁, с другой стороны r₂= r₁ + λ/2 = r₀ + λ. Последующие зоны будут также иметь форму сферических колец, ограниченных снаружи точками, для которых r= r₀ + k λ/2, где k - номер зоны.

Используя формулу для площади поверхности сферического сегмента, можно показать, что площади всех зон Френеля приблизительно равны. Так как расстояния от зон Френеля до точки А и углы, под которыми они видны из точки А, мало различаются по величине, то можно считать, что амплитуды колебаний в точке А, приходящих от различных зон Френеля, практически равны. Поскольку колебания от соответствующих точек соседних зон приходят в противофазе, то колебания от любых двух соседних зон взаимно уничтожаются. Если отверстие пропускает такую часть фронта волны, что на ней помещаются две зоны Френеля или любое четное число зон Френеля, в точке А будет наблюдаться темнота. Если в отверстии укладывается нечетное число зон Френеля, в точке А будет свет.

Следовательно, если мы хотим узнать будет ли в точке А свет или темнота, мы должны определить какое число зон Френеля укладывается в отверстии. Пусть S – точечный источник света, SQ – оптическая ось, MN – отверстие в непрозрачном экране, A – точка наблюдения, ρ – радиус отверстия (Рис.3).

Обозначим расстояние от источника до отверстия через a, от отверстия до точки А – через b. Построим сферический фронт волны радиусом SN = R₀ = a+h, где h – высота сферического сегмента, вырезанного на сферической поверхности плоскостью MN. Из треугольника SNO имеем:

 

Поскольку h мало по сравнению с a, то

(1)

Если в отверстии уложилось целое число K зон Френеля, тогда из условия построения зон:

(2)

Из рисунка видно, что   (3) и 

(4)

Подставляя вместо r ₀ и r ₀² (3) и (4) в (2) и пренебрегая членами второго порядка малости , приближенно имеем:

(5)

Из треугольника AON имеем: , или, используя (5) и подставляя вместо h его выражение из (1), получим:

,

откуда: . Решая последнее уравнение относительно К, получим:

(6)

Следовательно, число зон, уложившихся в отверстии MN, зависит не только от радиуса отверстия, но и от расстояний от отверстия до источника и точки наблюдения, а также от длины волны. Если, не изменяя расстояния от источника до отверстия и радиус отверстия, перемещаться вдоль оси SQ, т.е. изменять b, то К - число открытых зон будет монотонно изменяться, принимая попеременно, то четные, то нечетные значения, т.е. на оси SQ в различных местах мы будем наблюдать в центре дифракционной картины то темноту, то свет. Если наблюдения произвести из точки, для которой b по формуле (6) дает нецелочисленное значение К, то картина в центре будет менее контрастной.

Мы рассмотрели картину дифракции в точках на оси SQ. Теоретическое рассмотрение картины дифракции в соседних с осью точках связано с дополнительными трудностями. Однако, очевидно, что дифракционная картина должна быть симметричной относительно точки, лежащей на оси, так как в точках, находящихся на одном и том же расстоянии от центральной точки, условия дифракции будут одинаковы. Итак, если в точке на оси мы наблюдаем светлое пятно, то вокруг него мы обнаружим темное кольцо, вокруг которого заметим светлое кольцо, т.е. картина дифракции на круглом отверстии представляет собой чередующиеся темные и светлые кольца. Число колец зависит от числа открытых зон и, следовательно, от места наблюдения. На рис.4 представлено несколько изображений картин дифракции на круглом отверстии по мере приближения к отверстию (т.е. по мере уменьшения расстояния b).

 

 

Рис.4. Дифракционная картина Френеля на круглом отверстии на разных расстояниях b от отверстия до экрана. Число открытых зон увеличивается слева направо от 2 до 6. Размер картины уменьшается, приближаясь к диаметру отверстия.

 

Если на пути света от точечного источника S установить малых размеров диск D, то на экране Р также будет наблюдаться

 

дифракционная картина. Рассмотрим, чему равна амплитуда колебаний в точке А, лежащей на оси SO. Используя метод зон Френеля (Рис.5), получим, что амплитуда колебаний в точке А будет равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной. Если размер диска невелик, то действие первой открытой зоны практически не

отличается от действия центральной зоны свободной волны и освещенность в точке А, как и в других точках линии SOА, достаточно удаленных от диска, будет такой же, как и при отсутствии диска. Таким образом, в центре области геометрической тени будет наблюдаться светлое пятно(пятно Пуассона). За пределами геометрической тени наблюдается картина в виде чередования темных и

светлых колец (Рис.6).

 

Причем по мере удаления от центра кольца становятся все менее и менее резкими. Число колец, как всегда при интерференции, близко к величине , где Δλ - полоса пропускания применяемого светофильтра.

На рис. 7 приведены фотографии дифракционной картины Френеля на вертикальной щели. Начальная ширина щели соответствует примерно одной открытой зоне Френеля, конечная ширина – семи открытым зонам Френеля. Вертикальный размер картины определяется размерами светового пучка, падающего на щель. Когда в щели укладывается нечетное число зон Френеля, в центре картины наблюдается светлая полоса, в случае четного числа зон – темная полоса.