Пусть случайная величина – доходность некоторого актива (например, акции), известно ее распределение, то есть значения доходности и их вероятности за рассматриваемый промежуток времени. Тогда математическое ожидание выражает среднюю (прогнозную) доходность актива.
Свойства.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой.
.
Доказательство.
. | |||
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания.
Доказательство.
… | … | … | … | ||||||||||
… | … | … | … |
Свойство 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Доказательство.
Для простоты будем считать, что и принимают конечное число значений.
Обозначим , , .
Замечание.
Формула обобщается на любое число слагаемых
.
Свойство 4. Если случайные величины и независимы, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий:
|
|
.
Доказательство.
Опять рассмотрим для простоты конечное число возможных значений.
… | … | ||||||||||
… | … |
( вынесем за знак )
Свойство 5. Если – числовая функция и – дискретная случайная величина, то
Свойство 6. Если – выпуклая функция, то
– неравенство Йенсена.
(Выпуклость функции – это выпуклость вниз
, где .
Дисперсия
Рассмотрим пример:
-100 | -50 | 50 | 100 | -0,02 | -0,01 | 0,01 | 0,02 | ||||
.
Математическое ожидание не полностью характеризует случайную величину; нужно выяснить, насколько рассеяны ее возможные значения вокруг центра, то есть математического ожидания. Для этого вводят новую числовую характеристику, называемую дисперсией. Слово «дисперсия» означает «рассеяние».
Назовем случайную величину – , где отклонением.
… | … | ||||
… | … |
На первый взгляд, кажется, что нужно найти среднее значение (математическое ожидание) отклонения случайной величины от ее центра, но
.
Поэтому вычисляют среднее значение квадрата отклонения. Это и есть дисперсия.
(Величина - среднее значение модуля отклонения, называемая средним линейным отклонением неудобна в пользовании).
Определение.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Для дискретной случайной величины
(если число возможных значений конечно) |
(если число возможных значений бесконечно) |
|
|
и
неслучайная постоянная величина, она имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно, Поэтому в качестве меры рассеяния (разброса) возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания используют величину , имеющую ту же размерность и называемую средним квадратичным (квадратическим) отклонением случайной величины или стандартным отклонением.
Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения, то можно рассматривать как некоторую среднюю характеристику самого отклонения, точнее, величины .
.
В финансовом анализе.
Если случайная величина – доходность некоторого актива, то дисперсия или – выражает меру отклонения доходности от ожидаемого среднего значения, то есть риск данного актива.
ТЕОРЕМА.
Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания.
. (*)
Доказательство.
Следствие.
.
Свойства.
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
(постоянная величина не имеет рассеяния).
Доказательство.
.
Свойство 2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате .
Доказательство.
.
Свойство 3. Рассмотрим дисперсию суммы
.
Величина называют ковариацией или корреляционным моментом случайных величин и , и обозначают или σ(X,Y).
.
Ковариация имеет размерность произведения размерностей случайных величин и .
ТЕОРЕМА.
Если и независимы, то их ковариация равна нулю.