II. Этап проверки домашнего задания

В конце урока выполняете домашнее задание.

Тема: "Законы булевой алгебры и упрощение логических выражений"

Цели урока:

Образовательные: познакомить учащихся с законами логики;  совершенствовать, развивать и углублять знания и умения по теме «Логические основы построения компьютера»; проконтролировать степень усвоения учебного материала. сформулировать правила преобразования логических выражений; научить учащихся приводить логическое выражение к нормальной форме; способствовать развитию у учащихся логического мышления.

Развивающие: развивать внимание, память, речь, мыслительную деятельность учащихся, умения анализировать, обобщать и наблюдать, сравнивать, выделять главное, делать выводы.

Воспитательные: стимулировать познавательную деятельность учащихся, привить интерес к предмету.

 

Задачи учителя:

сформировать у учащихся умение определять в сложной формуле действие различных законов; сформировать у учащихся умение применять законы булевой алгебры для упрощения логических выражений.

 

Требования к знаниям и умениям:

 

Учащиеся должны знать:

-правила преобразования логических выражений и законов логики.

 

Учащиеся должны уметь:

- упрощать логические выражения;

- уметь решать логические задачи, сформулированные на обычном языке.

 

Тип урока: комбинированный урок.

 

Ход урока:

     

I. Организационный этап.

II. Этап проверки домашнего задания.

Фронтально проверяется задание, записанное в тетради:

Построить таблицу истинности функции F:

F=(

Решение:

A	B	C					C	C	F
0	0	0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1	0	1	1
1	0	0	0	1	0	1	0	0	1
1	0	1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1	0	0	0	1

 

 

 III. Разминка. Подготовка учащихся к восприятию материала на основном этапе занятия. 

 

Учитель:

Для какого числа X истинно высказывание

 

A9. ((X>3) \/(X<3)) –> (X<1)

 

1)

1

2)

2

3)

3

4)

4

 

 

Учитель: Проверим все 4 возможных варианта значения Х и выберем из них тот вариант, когда значением выражения будет истина. Вызывает ученика к доске. 

Решение:

Х=1

Выражение будет иметь вид: ((1>3) \/(1<3)) –> (1<1). Определим истинность каждого высказывания.  (0 \/ 1) –> 0, откуда 1 –> 0=0     

Х=2

Выражение будет иметь вид: ((2>3) \/(2<3)) –> (2<1). Определим истинность каждого высказывания.  (0 \/ 1) –> 0, откуда 1 –> 0=0     

Х=3

Выражение будет иметь вид: ((3>3) \/(3<3)) –> (3<1). Определим истинность каждого высказывания.  (0 \/ 0) –> 0, откуда 0 –> 0= 1

 Х=4

Выражение будет иметь вид: ((4>3) \/(4<3)) –> (4<1). Определим истинность каждого высказывания.  (1\/ 0) –> 0, откуда 1 –> 0=0     

Ответ: верный ответ № 3.

 

 

A11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

 

X	Y	Z	F
0	1	0	0
1	1	0	1
1	0	1	0

 

 Какое выражение соответствует F?

 

1)	X \/ Y \/ Z
2)	X /\ Y /\ Z
3)	X /\ Y /\ Z
4)	X \/ Y \/ Z

 

 

 Учитель: Составим таблицы истинности для каждого высказывания, и сравним результат с F.

 

X	Y	Z	X	Y	Z	X \/ Y \/ Z	X /\ Y /\ Z	X /\ Y /\ Z	X \/ Y \/ Z	F
0	1	0	1	0	1	1	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0

 

Ответ: верный ответ 2

В2. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание

(90<X·X) –> (X < (X -1))?

Вспомним таблицу истинности импликации. Импликация истинна в трёх случаях:

0→0;

0→1;

1→1;

Рассуждаем, т.к. вторая часть выражения X < (X -1) всегда ложна, остается только первый случай. (0→0); Т.о наибольшее целое число X, при котором 90<X·X ложно равно  9

 

A10. Какое логическое выражение равносильно выражению (A /\ B) /\ C?

 

1)	A \/ B \/ C
2)	(A \/ B) /\ C
3)	(A \/ B) /\ C
4)	A /\ B /\ C

 

Решение: (способ1).

Учитель: Каким способом мы можем решить эту задачу?

Ученики: Построим таблицы истинности для каждого из выражений, и сравним результаты

По заданию:

А	В	С	A /\ B	(A /\ B)	C	(A /\ B) /\ C
1	1	1	1	0	0	0
1	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	1	1
0	1	0	0	1	1	1
0	0	1	0	1	0	0
0	0	0	0	1	1	1

.

Вариант1

А	В	С	A	C	A \/ B	A \/ B \/ C
1	1	1	0	0	1	1
1	1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	1	1

 

Вариант2

А	В	С	A	B	C	A \/ B	(A \/ B) /\ C
1	1	1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0	1	0
0	1	1	1	0	0	1	0
1	0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	0	1	1	1	1	1

 

Вариант3

А	В	С	A	B	C	A \/ B	(A \/ B) /\ C
1	1	1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0	1	1
0	1	1	1	0	0	1	1
1	0	0	0	1	1	1	0
0	1	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	1	1	0

 

Вариант4

А	В	С	A	B	C	A /\ B	A /\ B /\ C
1	1	1	0	0	0	0	0
1	1	0	0	0	1	0	0
1	0	1	0	1	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	1	0	0
0	0	1	1	1	0	1	0
0	0	0	1	1	1	1	0

 

Вывод: сравнивая таблицы мы пришли к выводу, что верный вариант 2

Учитель:  А как вы думаете ребята, не показалось ли вам решение этой задачи слишком громоздким? Я, например, сразу могу сказать вам ответ этой задачи, не строя таблицы истинности. Как вы думаете, каким образом?  

               Правильно, существуют специальные законы преобразования выражений и сегодня мы с вами рассмотрим их. 

 

IV. Изложение нового материала:

 

Важно подвести ребят к самостоятельному выводу о необходимости преобразований и упрощений выражений. Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности сложно, в таких случаях формулы приводят к нормальной форме, т.е. в формуле отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания. Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований. Законы записаны на слайде, вывести на экран (распечатать по одному экземпляру на парту), и по мере записи на доске, ученики пишут в тетрадь.

 

Логические законы:

1. Независимость от перестановки мест (коммутативность)

A v B = B v A

A ^ B = B ^ A

 

2. Независимость от порядка выполнения однотипных действий (ассоциативность)

(A v B) v С = A v (B v С)

(A ^ B) ^ С= A ^ (B ^ С)

 

3. Распределительный закон относительно логического умножения и сложения (дистрибутивность)

 

Распределение относительно логического умножения:

 

(А v В) ^ C = (A ^ C) v (В ^ C).  Вспомним правила раскрытия скобок в алгебре, ведь недаром операции конъюнкции и дизъюнкции называют логическим умножением и сложением. И наоборот:

 

(A & B) v (В & C) = В & (А v C).  Похоже на вынесение общего множителя за скобки в алгебре. Распределительный закон относительно логического умножения полностью повторяет аналогичный закон алгебры.

 

 

Далее мы рассмотрим группу законов, у которых нет аналогов в алгебре, но они легко воспринимаются учащимися из-за своей наглядности.

 

4. Отсутствие степеней и коэффициентов (идемпотентность)

А v А = А

А ^ А = А

 

Если высказывание А ложно (0), то результат 0 v 0, а также 0 ^ 0 – ложь; если высказывание А истинно (1), то результат 1 v 1, а также 1 ^ 1 - истина

 

5. Двойное отрицание (инволюция)

(А) = А

 

Ученикам предлагается заполнить таблицу истинности и сравнить 1 и 3 столбцы

 

6. Действия с абсолютно-истинными и абсолютно-ложными высказываниями. Абсолютно-истинное высказывание – высказывание, которое имеет значение ИСТИНА при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «истина» или 1. (пример: теорема Пифагора) Абсолютно-ложное высказывание – высказывание, которое имеет значение ЛОЖЬ при любых значениях входящих в него простых высказываний. Такие высказывания обозначаются константой «ложь» или 0.

А v 1 =1 (всегда истина)

А ^1 = А

А v 0 = А

А ^ 0 = 0 (всегда ложь)