2020-05-12
150
Вектор абсолютного ускорения точки M определится:
a = dua.
a dt
Тогда уравнение (4.8) примет вид:
du d (we ´ rr ) d 2 r
aa = r + + e . (4.12)
dt dt dt 2
Рассмотрим производные (4.12), отдельно.
dur dt
и d (we ´ rr ) , входящие в уравнение
dt
Представив u в виде u
i + u j + u k, производная dur, с учетом
r
(4.5), будет равна:
rx ry rz dt
du d (urx i
+ ury j + urz k)
r = ;
dt dt
dur = æ durx i
+ dury j + durz k ö + æ di u
|
+ dj u
+ dk u ö ;
dt ç
dt dt dt
÷ ç dt rx
dt ry
dt rz ÷
è ø è ø
dur
= (a i
+ a j + a k)+ w
´ (u
i + u
j + u
k);
dt rx ry rz e rx ry rz
dur = a
+ w ´ u
, (4.13)
dt r e r
где ar
– относительное ускорение точки M.
Рассмотрим производную по времени от векторного произведения
we ´ rr:
d (we ´ rr ) = dwe ´ r + w
´ drr .
dt dt
r e dt
Так как
dwe = e
, а производная
drr
согласно (4.7) равна u
+ w ´ r,
получим:
dt e
d (we ´ rr ) = e
dt
´ r + w
´ (u
+ w ´ r);
r e r
dt e r e r e r
d (we ´ rr ) = e
´ r + w ´ u
+ w ´ (w
´ r). (4.14)
dt e r e r e e r
С учетом (4.13) и (4.14) уравнение (4.12) примет вид:
d 2 r
| | | | | | | |
aa = ar + we ´ ur + ee ´ rr + we ´ ur + we ´ (we ´ rr ) + e,
dt 2
или в такой последовательности
d 2 r
aa = ar + e + ee ´ rr + we ´ (we ´ rr ) + 2(we ´ ur ), (4.15)
dt 2
d 2 r
где
e
dt 2
= aO
– ускорение полюса O в переносном движении;
|
|
– вращательное ускорение точки M во вращении вокруг мгновенной оси W, проходящей через полюс
|
O, в переносном движении;
–
|
через полюс O, в переносном движении;
2(we ´ ur ) = aк – кориолисово ускорение. С учетом этого получим:
a = a + a + at + an + a, (4.16)
a r O MO MO к
где a + at + an = a – переносное ускорение точки M.
O MO MO e
Тогда уравнение (4.16) примет вид:
aa = ar + ae + aк . (4.17)
Равенство (4.17) выражает теорему Кориолиса о сложении ускорений: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного переносного и кориолисова ускорений.
Модуль абсолютного ускорения, в общем случае, определяется методом проекций. Для этого определяем алгебраические суммы проекций всех ускорений на координатные оси:
aax = arx + aex + aкx; aay = ary + aey + aкy; aaz = arz + aez + aкz.
Тогда модуль абсолютного ускорения будет равен:
|
Модуль и направление вектора кориолисова ускорения
Кориолисово (поворотное) ускорение
aк, стремится изменить направ-
ление вектора относительной скорости ur
угловой скорости we.
в направлении переносной
По модулю кориолисово ускорение будет равно:
aк = 2 weur sin (we , ur ).
Чтобы найти направление вектора Кориолисова ускорения
необходимо мысленно перенести вектор переносной угловой скорости we
в рассматриваемую точку M, а затем следовать одному из правил (рисунок 4.2).
Правило векторной алгебры
Вектор aк
перпендикулярен векторам we и
ur и направлен в ту сторону, откуда виден
кратчайший переход от we
часовой стрелки.
к ur
против хода
Рисунок 4.2
Правило Жуковского
Вектор относительной скорости ur проеци-
руем в плоскость p перпендикулярную оси
переносного вращения z и поворачиваем полученную проекцию сторону переносного вращения (по we) на 90°.
uпр в
Кориолисово ускорение равно нулю, если:
1) we = 0, т.е. переносное движение поступательно;
2) ur = 0, т.е. относительная скорость в данный момент времени равна нулю;
3) sin (we , ur )= 0, т.е. в случае когда (we , ur )= 0 или (we , ur )= 180°,
иначе – когда вектор ur we .
РАЗДЕЛ III. ДИНАМИКА
Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных точек (тел) в зависимости от действующих на них сил.
Динамика делится на два подраздела:
– динамика материальной точки;
– динамика механической системы.
