Теорема о сложении скоростей

Рассмотрим сложное движение точки M в случае, когда подвижная система отсчета связана с твердым телом, совершающим произвольное движение в пространстве (рисунок 4.2). Неподвижную систему отсчета обозначим O 1 x 1 y 1 z 1, подвижную – Oxyz.

Вектор абсолютной скорости точки M

определится:

u = dra;

a

u  =  drr

dt

+ dre  .             (4.2)

a   dt dt

Рассмотрим отдельно производные и dre.

dt

drr dt

Рисунок 4.2

Представив rr

получим:

в  виде  (xr i

+ yr j + zr k),

 

drr

= æ  dxr i

+ dyr

j + dzr k ö + æ  di x

                                           

 

+ dj y

 

+ dk z

ö .      (4.3)

dt ç

 

dt   dt    dt

÷ ç dt r

dt r

dt r ÷

è                           ø è                           ø

В правой части уравнения (4.3) первое слагаемое представляет собой относительную скорость:

æ  dxr i

+ dyr

j + dzr k ö = u

i + u

j + u

k = u

.            (4.4)

ç  dt   dt    dt ÷

rx        ry        rz         r

è                           ø

 

Орты i, j, k оставаясь неизменными по модулю, вращаются вокруг

мгновенной оси

W с угловой скоростью

w, поэтому производная от

 

e

e

соответствующего орта по времени определяет вращательную скорость его конца. Вектор этой скорости будет равен векторному произведению

dj

dk

вектора we

и вектора соответствующего орта:

 

                                                                                         

di

dt = we ´ i;

dt = we

´ j;

dt = we

´ k.                  (4.5)

Тогда, в правой части уравнения (4.3) второе слагаемое будет равно:

æ  di x

 

+ dj y

 

+ dk z

ö = w

´ (x i

+ y j + z k)= w

 

´ r.      (4.6)

 

ç  dt r

dt r

dt r ÷

e      r        r        r            e   r

è                           ø

 

С учетом (4.4) и (4.6), производная

 

(4.3), будет равна:

 

drr, определяемая выражением

dt

drr =  u

+ w ´ r,                                   (4.7)

dt r      e   r

где we ´ rr = uMO

– скорость точки M при ее вращении вокруг мгновенной

оси

W, проходящей через  полюс O, в переносном

 

e

движении.

Так как вектор re

связан с неподвижной системой отсчета

O 1 x 1 y 1 z 1, то

dre dt

= uO

 

– скорость полюса O в переносном движении, м/с.

Подставляя (4.7) в (4.2), получим:

u = u + w ´ r + dre  ;                               (4.8)

a     r      e  r   dt

где uMO + uO = ue

ua = ur + uMO  + uO ,                                   (4.9)

– переносная скорость.

Тогда уравнение (4.9) примет вид:

ua = ur  + ue .                                      (4.10)

Таким образом, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей.

Модуль абсолютной скорости будет равен:

 

ua =

.                     (4.11)