АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ
ВЕКТОРЫ. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Содержание | |||
Название | стр. | Название | стр. |
1. Основные определения | 3 | 8.1. Длина вектора | 18 |
2. Действия над векторами | 5 | 8.2. Расстояние между двумя точками | 18 |
2.1. Умножение вектора на число | 5 | 9. Направляющие косинусы вектора | 18 |
2.2. Сумма векторов | 7 | 10. Скалярное произведение двух векторов | 20 |
2.3. Разность векторов | 8 | 10.1. Определение скалярного произведения | 20 |
3. Числовая ось | 8 | 10.2. Свойства скалярного произведения | 21 |
4. Единичный вектор | 9 | 11. Векторное произведение двух векторов | 21 |
5. Угол между векторами | 10 | 11.1. Определение векторного произведения | 21 |
6. Проекция вектора на ось | 10 | 11.2. Свойства векторного произведения | 22 |
7. Системы координат | 13 | 12. Смешанное произведение трёх векторов | 22 |
7.1. Декартова система координат на плоскости | 13 | 12.1. Определение смешанного произведения | 23 |
7.2. Декартова система координат в пространстве | 14 | 12.2. Свойства смешанного произведения | 23 |
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками | 19 |
|
|
Лекция «Векторы. Векторная алгебра»
Основные определения. Действия над векторами: умножение вектора на число; сумма векторов; разность векторов. Числовая ось. Единичный вектор. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Системы координат: декартова система координат на плоскости; декартова система координат в пространстве. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов: определение скалярного произведения; свойства скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов: определение векторного произведения; свойства векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов: определение смешанного произведения; свойства смешанного произведения
Основные определения
В физике и технических науках встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Эти численные значения являются вещественными числами. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами являются длина, площадь, объём, масса, температура и др.
Наряду со скалярными, встречаются величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Такие величины называются векторными. Они описываются с помощью векторов.
Определение 1. Вектором (свободным вектором) называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.
О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор. Одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец, который на рисунке показывается стрелкой. Если началом вектора является точка , а конец точка , то используется обозначение (рис. 1, рис.2).
|
|
Рис. 1 Рис. 2
Определение 2. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается (аналогично, ).
Определение 3. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается .
Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю: . У нулевого вектора направление не определено. В качестве направления нулевого вектора можно брать желаемое в данный момент направление.
Определение 4. Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону, и противонаправленными, если они направлены в разные стороны.
На рис. 3 приведены примеры сонаправленных векторов и , и противонаправленных векторов и .
Рис. 3
Определение 5. Векторы и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов и обозначается .
Если векторы и равны, то при соединение начало вектора с началом вектора , а конец с концом получится параллелограмм (рис. 4). Верно и обратное правило: если при соединении начало вектора с началом вектора , а конца с концом получится параллелограмм, то векторы и равны.
Если векторы обозначены своими концами и , то равенство эквивалентно тому, что четырёхугольник является параллелограммом (рис. 5).
Рис. 4 Рис. 5
Определение 5. Вектор называется противоположным вектору , если они противонаправлены и имеют одинаковую длину. Если вектор противоположный вектору , то обозначается .
Если вектор обозначен с помощью его концов , то для обозначения противоположного вектора можно использовать любое из двух обозначений или .
Действия над векторами
В качестве действий над векторами, рассматриваются линейные операции – умножение вектора на число, сложение и вычитание.