Графическое и аналитическое отделение корней уравнения

1. Время работы – 2 часа

2. Цель работы: научиться отделять корни нелинейного уравнения двумя методами и использовать метод половинного деления

3. Теоретические сведения:

Нелинейные уравнения с одним неизвестным подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Уравнение (2.1) называется алгебраическим, если функция является алгебраической функцией. Алгебраическое уравнение всегда может быть представлено в канонической форме:

, (2.1) где – коэффициенты уравнения. Показатель n называют степенью алгебраического уравнения.

Если функция не является алгебраической, то уравнение (2.1) называется трансцендентным. Примерами трансцендентных уравнений являются:

В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений можно свести к решению алгебраических уравнений.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые (аналитические, точные) и итерационные. Прямые методы позволяют записать решение в виде некоторого соотношения (формулы). При этом значения корней могут быть вычислены по этой формуле за конечное число арифметических операций. Подобные методы развиты для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако подавляющее большинство нелинейных уравнений, встречающихся на практике, не удается решить прямыми методами. Во всех таких случаях приходится обращаться к численным методам, позволяющим получить приближенные значения корней с любой наперед заданной точностью

При численном подходе задача о решении нелинейных уравнений разбивается на два этапа: локализация (отделение) корней, т.е. нахождение таких отрезков на оси x, в пределах которых содержится один единственный корень, и уточнение корней, т.е. вычисление приближенных значений корней с заданной точностью.

Графическое отделение корней.

Отделение корней можно выполнить графически, если удается построить график функции . В ряде случае бывает удобно заменить уравнение эквивалентным уравнением вида . Корни этого уравнения определяются абсциссами точек пересечения графиков функций и .