Самым простейшим из методов уточнения корней является метод половинного деления, или метод дихотомии, предназначенный для нахождения корней уравнений, представленных в виде f(x)=0.
Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)< 0
(рис. 2), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.
Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с) 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b. Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. (вот вам и цикл) до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (вот и управляющее работой цикла условие) (b-a)< (или выполнятся другие вышеупомянутые критерии).
Рис. 2. Метод деления отрезка пополам
Т.к. каждое очередное вычисление f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности количество вычислений n определяется условием (b-a)/2n< , или
n~log2((b-a)/ ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( ~ 10-6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.
С точки зрения машинной реализации (рис.3) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.
Рис.3. Блок-схема метода половинного деления
4. Оснащение: микрокалькуляторы, линейка, карандаш
5. Задания:
1, 3. Отделить корни графически.
2. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления.
Индивидуальные задания:
№1 | 1) ; 2) ; 3) | №9 | 1) ; 2) ; 3) . |
№2 | 1) ; 2) ; 3) . | №10 | 1) ; 2) ; 3) . |
№3 | 1) ; 2) ; 3) ; | №11 | 1) ; 2) ; 3) ; |
№4 | 1) ; 2) ; 3) . | №12 | 1) ; 2) ; 3) . |
№5 | 1) ; 2) ; 3) . | №13 | 1) ; 2) ; 3) . |
№6 | 1) ; 2) ; 3) ; | №14 | 1) ; 2) ; 3) . |
№7 | 1) ; 2) ; 3) . | №15 | 1) ; 2) ; 3) . |
№8 | 1) ; 2) ; 3) . | №16 | 1) ; 2) ; 3) . |
6. Порядок выполнения работы:
Задание 2.
- Обозначить левую часть уравнения за и найти первую производную.
- Найти корни производной.
- Составить таблицу знаков функции , полагая х равным
а) корням производной или близким к ним;
б) граничным значениям (исходя из области допустимых значений неизвестного).
x | Корень | ||
знак |
Если происходит смена знака функции, то уравнение имеет действительный корень.
- Для завершения операции отделения корней следует уменьшить промежутки, содержащие корни, так чтобы их длина была не больше 1. Составить новую таблицу знаков функции .
- Выбрать промежутки, в которых заключены корни.
- Уточнить один корень до методом половинного деления при помощи Microsoft Excel и составить таблицу вида:
0 1 2 3 . . . |
Задание 1,3:
1. Переписать уравнение в виде .
2. Построить графики функции и .
3. Корень уравнения – абсцисса точки пересечения графиков.
4. Выбрать промежутки, в которых заключены корни.
7. Контрольные вопросы:
- Виды уравнений.
- Что является решением уравнения?
- Что значит отделить корень?
- Методы отделения корней уравнения (описать).
- Метод половинного деления (описать и составить блок-схему алгоритма метода)
6. Оценка погрешности приближения в данном методе (формула).
8. Требования к отчету: Отчет должен быть оформлен в соответствии с требованиями ЕСКД. Содержать цель, задание, таблицы, выводы.
9. Литература:
1. В.Н.Исаков, «Элементы численных методов».- М., АКАДЕМА,2003
2. А.А.Гусак. «Справочник по математике».- Минск, ТетраСименс,1999