Критерии устойчивости Гурвица

Достоинством метода является принципиальная простота, недостатком - необходимость выполнения операции вычисления определителя.

Рисунок 3.1 – САУ замкнутого вида

Для оценки устойчивости Гурвица используется характеристический многочлен передаточной функции замкнутой САУ (рисунок 3.1).

Характеристический многочлен 3^й степени в общем виде можно представить:

(3.1)

где a₀, a₁, a₂ и a₃ - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы.

Из коэффициентов характеристического многочлена строится определитель Гурвица по следующему алгоритму:

- по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;

- от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

- места недостающих коэффициентов заполняются нолями.

Далее вычисляются диагональные миноры определителя Гурвица (определители Гурвица), которые получают из матрицы путем отчёркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы.

(3.2)

Критерий Гурвица можно сформировать следующим образом: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны при a₀ >0.

Если имеется хотя бы один определитель Гурвица равный нулю, то САУ находится на границе устойчивости. Последний определитель можно не вычислять, так как его знак совпадает со знаком Δ_n_-1:

Показателями качества установившихся режимов являются ошибки регулирования, равные абсолютной величине разности между заданным и фактическим значениями сигналов САУ и которые в зависимости от вида входного сигнала САУ подразделяются на статические (ε_СТ) и скоростные ошибки (ε_СК) и ошибки (ε_m) при отработке гармонического входного сигнала.

Статическая (ε_СТ) и скоростная (ε_СК) ошибки можно найти по общей формуле:

(3.3)