Скорость, ускорение, сила, энергия

 

Рис. 1.

Колебательным назы­вается такое движение, при котором тело многократно проходит через одно и то же устойчивое положение равно­весия. При этом под устой­чивым понимается такое положение, в котором тело может находиться бесконечно долго.

 

 

Рис. 2. Представление колебаний: а – сложной формы, б – прямоугольные, в – пилообразные,   г – гармонические, д – затухающие, е – нарастающие

Виды колебаний

· периодические (изменяющиеся величины повторяются через равные промежутки времени);

· непериодические.

 

 

Простейший вид периоди­ческих колебаний – гармонические колебания, при которых изменение величин происходит по закону синуса или косинуса.

 

В зависимости от характера действующих сил различают колебания:

· свободные (собственные),

· вынужденные,

· автоколебания,

· параметрические.

 

Основное уравнение свободных незатухающих колебаний

Рис. 3

 .              (1)

 

Уравнение второго закона Ньютона

 

       ,          (2)

 

где                                           , w₀ - циклическая частота.                (3)

 

Общее решение уравнения (2) имеет вид

 

x = A cos (ω₀ t + j₀)  ,                (4)

 

где А и j₀ – произвольные постоянные.

(4) (2) ; ;

 

  0 = 0

 

Кинематические и динамические характеристики

свободных незатухающих колебаний

Кинематические характеристики: смещение, амплитуда, фаза, частота, период, скорость, ускорение.

Динамические характеристики: сила, энергия.

 

x = A cos (ω₀ t + j₀)

 

1. Смещение x - отклонение системы от положения равновесия.

2. Амплитуда А = x _max - максимальное отклонение системы от положения равновесия.

3. Фаза j = (ω₀ t + j₀) - угол, определяющий положение колеблющегося тела в данный момент времени t; j₀ = j(t = 0) - начальная фаза (значение фазы в начальный момент времени).

4. Циклическая частота колебаний w₀ = dj/d t - характеризует скорость изменения фазы.

5. Период колебаний Т - промежуток времени одного полного колебания, за который фаза колебания получает приращение, равное 2p.

 

                                       (5)

 

6.  Частота колебаний n₀ - число полных колебаний, совершаемых в одну секунду

 , [с^-1 = Гц]    ,                             (6)

 

   .                        (7)

 

7. Скорость колеблющегося тела v = d x /d t

 

,   (8)

 

 - амплитуда скорости. Скорость также изменяется по гармоническому закону, причем скорость опережает смещение по фазе на .

 

8. Ускорение колеблющегося тела v = d² x /d t ² = d v /d t

 , (9)

 

 - амплитуда ускорения. Ускорение также изменяется по гармоническому закону, причем оно находится в противофазе со смещением.

Рис. 6

 

9. Сила F = -kx

 

, x = A cos (ω₀ t + j₀) , (10)

 

т.е. период и фаза силы и ускорения совпадают.

 

10. Полная энергия незату­хаю­щих колебаний

 

                                    (11)

 

,

 

 

.                                              (12)

 

Свойства энергии

1. Период изменения кине­ти­ческой и потенциальной энер­гии в 2 раза меньше периода изменения смещения, скорости и т.д.

.

2. Полная энергия колеб­лю­щегося тела пропор­циональна квадрату амплитуды.

Рис. 7

3. Полная энергия пропор­циональна квадрату частоты колебаний.

4. При свободных незатухающих колебаниях полная энергия системы сохраняется постоянной, что выражает консервативность системы. Происходит лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.